Análisis de imágenes:
una aplicación moderna de las matemáticas
Julian
Stander
School
of Mathematics and Statistics
University of Plymouth, UK
e-mail: jstander @ plymouth.ac.uk
página web: http://www.tech.plym.ac.uk/maths/staff/jstander/home.html
Las
imágenes están en todas partes y, en particular, las imágenes electrónicas juegan
un papel cada vez más importante en la vida cotidiana. Los
médicos de los hospitales usan las placas de rayos X para observar las fracturas
de huesos. Los meteorólogos emplean imágenes por satélite para ayudar a
pronosticar el tiempo. La policía estudia
fotografías aéreas para descubrir dónde
están creciendo los cultivos de droga.
Recientemente
nos hemos asombrado con las imágenes del planeta Marte de la misión Pathfinder
y con otras imágenes astronómicas obtenidas por el telescopio Hubble.
Muchas imágenes de estos proyectos se pueden encontrar en la web. Sólo unas
palabras de advertencia: transferir imágenes de
la web puede resultar a veces muy lento. La razón de esto estriba en que
las imágenes contienen mucha información; ¡por eso se dice que una imagen vale más que mil palabras!
Frecuentemente,
las imágenes se muestran en la pantalla de un ordenador como un retículo de
cuadrados elementales llamados píxeles, a los que se asigna un color particular
o tonalidad de gris.
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Figura 1. Una imagen por ultrasonidos de una
sección
transversal de la cabeza de un feto humano.
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La
Figura
1 presenta una imagen de
un corte transversal de la cabeza de un feto humano obtenido por una máquina de
ultrasonidos en un hospital. Esta imagen consta de 2.500 píxeles ordenados en un retículo de 50 por 50. La forma de la
cabeza puede suministrar mucha información al médico acerca de la salud del
bebé. Desafortunadamente, la calidad de esta imagen es muy pobre, puesto que se
han perdido muchos detalles reales y, en cambio, se han introducido muchas
características espurias. Sin embargo, cuando pensamos en ello, resulta
realmente notable que una figura potencialmente tan útil haya sido obtenida sin
someter a la madre a ninguna intervención interna. Por esta razón la
ultrasonografía desempeña un papel muy importante en la obstetricia moderna.
Imágenes
como las de la Figura 1 son almacenadas como una matriz de números en un
ordenador, asignándole un valor a la tonalidad de gris en cada píxel. Esto se
puede hacer, por ejemplo, usando una escala que varía de 0 a 1, asignando el
valor 0 al negro y el valor 1 al blanco. El análisis de imágenes es una rama de
las matemáticas que se está desarrollando rápidamente y que implica el
procesamiento de estas matrices numéricas de tal modo que se pueda extraer
información útil y hacer interpretaciones provechosas. Este procesamiento puede
entrañar el resaltamiento de ciertos detalles, como una fractura en una placa
de rayos X, o la identificación del uso de la tierra a partir de una imagen por
satélite, alterada por el emborronamiento
atmosférico, de una zona agrícola.
Figura 2. Una máquina de ultrasonidos se emplea
para observar a un bebé en la matriz [Fuente: Toshiba].
Los
estadísticos son un grupo de matemáticos que tienen mucho que ofrecer a la
ciencia del análisis de imágenes. Su experiencia general al tratar con sucesos
y procesos aleatorios les lleva a modelizar los mecanismos que causan la
degradación de las imágenes. Los estadísticos adoptan a menudo un enfoque
bayesiano del análisis de imágenes. El teorema
de Bayes nos permite actualizar nuestras opiniones a la luz de nueva
información. Véase, por ejemplo, The
taxi problem revisited en Plus
Magazine.
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P(A / B) =
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P( B / A) P(A)
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P(B)
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Figura 3. Teorema de Bayes en su forma más simple.
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Asumamos
que los datos disponibles consisten en una imagen por satélite de un área
agrícola y que los píxeles de esta imagen se corresponden con regiones
cuadradas de terreno. Supongamos también que estamos interesados en identificar
el tipo de cada píxel como de agua, de bosque, de edificio, de terreno
cultivado y de terreno no cultivado, y que en la imagen cada tipo corresponde a
una tonalidad de gris y, por tanto, a un número.
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Figura 4. Imagen del uso de la
tierra:
Flevoland, Países Bajos [Fuente: NASA].
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Muy
a menudo los datos han sido afectados por el emborronamiento atmosférico, y consiguientemente
corresponden a versiones alteradas del verdadero (pero desconocido) uso de la
tierra, esto es, el verdadero tipo de cubierta en cada píxel. Los estadísticos
pueden colaborar con los científicos que han estudiado el efecto del
emborronamiento atmosférico para describir cómo sería probablemente la imagen
(matriz de números) reenviada desde el satélite si el verdadero uso de la
tierra fuera el que se supone. Matemáticamente, esto se puede expresar como P (datos /
supuesto uso de la tierra), la probabilidad de los datos condicionada al supuesto uso
de la tierra.
El
enfoque bayesiano también requiere que
fijemos la probabilidad de cada supuesto uso de la tierra antes de que cualquier
dato haya sido observado. Esto se denomina probabilidad a priori. Pensemos ahora por un momento en las características de
un área agrícola. Una tal zona estaría probablemente integrada por trozos de terreno bastante grandes del mismo tipo de
cubierta. La probabilidad a priori P(supuesto uso de la tierra) puede ser diseñada para
reflejar esto, asignando probabilidades bajas a los supuestos usos de tierra
que comprenden muchos trozos relativamente pequeños y probabilidades altas a
los supuestos usos de tierra que comprenden un pequeño número de parcelas
relativamente grandes del mismo tipo de cubierta.
El
teorema de Bayes nos permite encontrar la probabilidad del supuesto uso de la
tierra condicionada a la imagen por satélite: P (supuesto uso de la tierra / datos), la probabilidad a posteriori.
El uso de la tierra se podría estimar entonces maximizando esta probabilidad a posteriori sobre todos los usos
posibles de la tierra. De esta forma, la estimación depende tanto de los datos
disponibles del satélite como de las opiniones anteriores respecto del uso de
la tierra.
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Figura 5. La forma de la cabeza
extraída de la
Imagen por
ultrasonidos mostrada en la Figura 1.
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Ahora
centremos nuestra atención de nuevo en la imagen por ultrasonidos mostrada en
la Figura 1. Un trabajo reciente en análisis de imágenes de la Universidad de
Plymouth trata de la detección de los contornos, de los bordes. La Figura
5 fue obtenida
automáticamente aplicando un algoritmo especialmente diseñado para la imagen
por ultrasonidos que aparece en la Figura 1. Obsérvese cómo este algoritmo se
las ha ingeniado para identificar el contorno de la cabeza hacia los lados
derecho e izquierdo de la imagen, donde su representación es extremadamente
pobre. Ello se debe a que el algoritmo toma en consideración las opiniones
previas respecto de la curvatura de la forma de la cabeza.
Imágenes
como estas pueden ser de gran ayuda para los médicos en sus diagnósticos.
También pueden ser usadas como inputs
para otros procesos estadísticos que ayudan a los obstetras a identificar fetos
enfermos.
Algo
de las matemáticas que se necesitan en el análisis de imágenes se puede
encontrar en cursos de Probabilidad y Estadística en los institutos y en los
módulos de Probabilidad, Estadística y Optimización en las universidades. En la
Escuela de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Plymouth hemos
introducido recientemente un módulo de análisis de imágenes, y ahora ofrecemos
proyectos en esta área moderna y excitante de las matemáticas.
Reconocimientos
En
la Escuela de
Matemáticas y Estadística de la Universidad de Plymouth, la investigación en análisis de
imágenes está dirigida por Jian'an Luan,
Julian Stander y David Wright. El módulo de análisis de imágenes es explicado
por Rana Moyeed.
Referencias
Un
excelente libro con un gran número de ejemplos interesantes es: Análisis de imágenes para las ciencias biológicas,
por C.A. Glasbey y G.W. Horgan, publicado por Wiley en 1995.
Para
imágenes interesantes en la web, véanse:
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Sobre
el autor
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Julian Stander es Principal Lecturer en Estadística en la Universidad de Plymouth, a la que está
vinculado desde octubre de 1993. Obtuvo el grado en Matemáticas, con honores,
en la Universidad de Oxford,
un diploma en Estadística Matemática, también con honores, en la Universidad de Cambridge, y
el doctorado en la Universidad
de Bath con la tesis titulada Algunos
tópicos en análisis estadístico de imágenes. Previamente a su
incorporación a la Universidad de
Plymouth disfrutó de una beca de la Royal Society dentro del Programa Europeo de Intercambio
Científico en el Istituto
per le Applicazioni del Calcolo de Roma, a donde regresó más tarde con
una subvención de la Red Europea de Métodos Estadísticos y Computacionales
para el Análisis de Datos Espaciales. Miembro activo de la Royal
Statistical Society, fue editor asociado del Journal
of the Royal Statistical Society: Series D (The Statiscian) y presidente
del comité organizador local del RSS2002, celebrado en Plymouth. Sus intereses de
investigación incluyen análisis de imágenes, métodos de Monte Carlo para
cadenas de Markov, estadística espacial y confidencialidad estadística.
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