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 revista digital de divulgación matemática
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     ISSN: 1699-7700

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El reto de Fermat Imprimir E-Mail
Escrito por Redacción Matematicalia   
martes, 07 de marzo de 2006
El reto de Fermat

Título: EL RETO DE FERMAT

Autor: Ángel del Río Mateos

Editorial: Nivola

Páginas: 168

Formato: 15,0 x 24,0cm

Fecha de publicación: octubre 2005

ISBN: 84-96566-04-8

INFORMACIÓN EDITORIAL

Durante los días 25, 26 y 27 de junio de 1993 tuvo lugar un acontecimiento realmente extraordinario; una ecuación matemática conseguía colarse en la primera página de los principales diarios: xn + yn = zn. Justo la misma ecuación que había obsesionado sin descanso, durante casi cuatrocientos años, a algunos de los matemáticos más grandes de todos los tiempos: Euler, Gauss, Dirichlet, Kummer o Serre, empeñados en resolver, infructuosamente, el enigma planteado por un aficionado francés, Pierre de Fermat, un magistrado de provincias que había lanzado su desafío después de muerto desde el estrecho margen de un viejo libro de aritmética.

El reto de Fermat es una invitación a compartir esa frenética aventura, cargada de ingenio, rivalidades, momentos de inspiración y también de amargas decepciones, en la que Fermat consiguió arrastrar a cientos de personas, incluyendo a algunos de los genios de la historia de las matemáticas, y que no llegó a su fin hasta 1994, cuando Andrew Wiles anunció que había resuelto definitivamente el problema.

El que fuera durante siglos el enigma sin resolver más famoso de la historia de las matemáticas mantiene hoy en día todo su atractivo, después de afectar de manera profunda a prácticamente todas las ramas de esta ciencia. Un camino que ahora puede volver a recorrer cualquier persona interesada en las matemáticas, o que simplemente disfrute con los desafíos al ingenio.

RESEÑA

No se puede dividir un cubo en dos cubos, ni una potencia cuarta en dos potencias cuartas y, en general, ninguna potencia superior a la segunda hasta el infinito en dos del mismo exponente. He encontrado una demostración admirable. No cabría en este estrecho margen. Probablemente esta anotación de Pierre de Fermat en el margen del libro la Aritmética de Diofanto, a la que además no parece que le diese gran importancia, no es una frase tan conocida en la historia de las ciencias como algunas de Galileo, Einstein, Newton, etc., y quizás su conocimiento esté bastante circunscrito sólo al mundo de las personas relacionadas con las matemáticas. Sin embargo, es casi seguro que no hay otra frase en la historia que haya puesto a trabajar a tanta gente para comprobar su veracidad o falsedad. Si pensamos que hay más de 350 años entre su escritura y su validación, nos podemos hacer una idea de la cantidad de trabajo que ha sido necesario generar para su demostración. Probablemente sólo el V Postulado haya dado lugar a tanto estudio, pero en este caso no se trataba de una simple frase en términos de comentario.

El problema fue atacado no sólo por grandes matemáticos, entre ellos dos de los más extraordinarios de la historia, como fueron Euler y Gauss (quienes hicieron demostraciones de casos particulares), sino también por matemáticos desconocidos o por simples aficionados. Otros tuvieron una forma distinta de dedicarle tiempo: no lo trabajaron, pero ofrecieron premios o recompensas para quien lo lograra resolver.

Pues el causante de toda esta algarabía fue Pierre de Fermat, nacido en 1601 en la región de Toulouse. Su profesión era la de juez y su afición las matemáticas, a las que dedicó mucho tiempo y esfuerzos aunque, y esto es curioso, no publicó nada en vida. Fue su hijo Samuel quien, a la muerte de su padre, publicó sus trabajos. Esto hizo que muchos de sus descubrimientos fuesen asignados a otros matemáticos. En concreto, se puede citar la geometría analítica, asociada siempre a René Descartes. Para muchos autores, fue también el autor del cálculo infinitesimal, siempre asociado a Newton y Leibniz. Sí fue el creador de lo que hoy denominamos números combinatorios, y del principio de inducción completa, al que llamó “método del descenso infinito”. Es, por tanto, el iniciador de la teoría de números.

En vida formó parte de la Academia de Mersenne, desde donde mantenía relaciones con matemáticos de otros países, especialmente de lo que hoy es Italia, donde se vivía un gran momento de la ciencia con Tartaglia, Cardano, etc.

Todo lo antes explicado viene recogido en el primer capítulo del libro, titulado El origen del reto, y es el reto de la anotación antes citada de Fermat el leit-motiv del libro, y no la vida y figura de Fermat. Ese reto ha tenido siempre un nombre: el último teorema de Fermat; incluso no era necesario poner el nombre de Fermat para saber de qué y de quién se hablaba.

En el segundo capítulo se presentan los primeros pasos para la demostración, como por ejemplo la demostración de Euler para n=4, y aparece una mujer, Sophie Germain, que recibe ayuda de Legendre y Lagrange, a quienes envía sus trabajos bajo un seudónimo masculino (M. LeBlanc). En concreto, presenta un teorema relativo a números primos que será la base del acercamiento para trabajar el teorema de Fermat. La fama de esta mujer llega hasta Gauss, quien le muestra su admiración por sus trabajos y, como se explica en el capítulo, Sophie Germain intercede, a través de un militar amigo de su familia, para que protejan la vida de Gauss durante la invasión francesa de la ciudad donde él vivía. Leído este capítulo, es claro que nos sentimos interesados en profundizar en el trabajo de esta matemática.

En el tercer capítulo se presentan nuevos avances debidos a un grupo de matemáticos extraordinarios, empezando con Gauss quien, aunque muestra públicamente su negativa a resolver el problema, sí lo está trabajando. En concreto, desde los números complejos busca una solución para el teorema. Demuestra el caso n=3, que se une a las demostraciones de Dirichlet para 5 y 7, esta última también realizada por Lamé y Lebesgue. Otros matemáticos que colaboran en los trabajos y discusiones son Liouville y Cauchy.

En el cuarto capítulo aparece la figura de Ernst Kummer, cuyos planteamientos pasan a ser las herramientas más importantes para atacar el teorema. Al principio del capítulo se presentan los trabajos de Gauss para trazar con regla y compás el polígono de 17 lados y la imposibilidad de los de 7, 9 y 11, dando la regla general para cuándo se puede dibujar un polígono de ?n? lados con regla y compás. Posteriormente se desarrollan varios teoremas en el campo de los números complejos.

Kummer introduce nuevos conceptos, como el de ideal y primos regulares, y establece teoremas en los que, para algunos valores de esos primos (en concreto menores que 100 y distintos de 37, 59 y 67), se verificaba el teorema de Fermat. Cuando Dirichlet deja su puesto en la universidad de Berlín para ocupar el puesto de Gauss en Göttingen, Kummer pasa a sustituirle por deseo expreso suyo. Desde su cátedra en Berlín dirige las tesis doctorales de grandes matemáticos como Cantor o Schwarz. Como en el caso de Sophie Germain, una vez leído el capítulo, entra el gusanillo de profundizar en la figura de Kummer.

El capítulo se completa con la conjetura de Vandiver que, ya en el siglo XX con la aparición de los ordenadores, permitió la demostración del teorema de Fermat para casos particulares. En 1993 se llegó hasta el exponente cuatro millones.

En el capítulo final (capítulo 5) se recogen las nuevas herramientas matemáticas que permitieron la demostración de Wiles: los conceptos de curvas elípticas, formas modulares, conjetura de Taniyama-Shimura, conjetura de Frey, etc., para terminar describiendo todo el proceso, fallido en un primer intento, que llevó a Wiles a la demostración final.

En resumen, es un libro muy interesante que permite un acercamiento, lógicamente no siempre con la misma facilidad para entender todos los contenidos presentados, al proceso histórico que condujo a la resolución de un problema tan perseguido.

Autor de la reseña: Fernando Fouz, Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Donostia

Más información: http://www.nivola.com/framelibro.asp?ref=118

 
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