Recibido: miércoles, 06 abril 2005
La paradoja en la ciencia y el arte III
Paradojas de la predicción, de la vaguedad, semánticas y epigramáticas
Marta Macho Stadler
Departamento
de Matemáticas
Universidad
del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea
e-mail:
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página web: http://www.ehu.es/~mtwmastm
En la
revista Scientific American 217 (pág. 50-56, 1967), el biólogo y matemático ruso Anatol Rapoport (1911- ), experto en teoría de la
comunicación y de juegos, escribe en el artículo titulado Escape from paradox:
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Paradoxes have
played a dramatic part in intellectual history, often foreshadowing
revolutionary developments in science, mathematics, and logic. Whenever, in
any discipline, we discover a problem that cannot be solved within the
conceptual framework that supposedly should apply, we experience shock. The
shock may compel us to discard the old framework and adopt a new one. It is
to this process of intellectual molting that we owe the birth of many of the
major ideas in mathematics and science.
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En este texto se dan algunos ejemplos de cómo las
paradojas aparecen tanto en el ámbito de la ciencia como del arte. La lista no
es exhaustiva, es tan sólo una pequeña (y parcial) muestra, que pretende
estimular la curiosidad del lector.
El texto está organizado en once apartados, dedicado cada
uno de ellos a un tipo diferente de paradoja. Se incluye también una extensa
bibliografía (aunque no completa), y en cada una de las secciones indicadas se
dan diversos enlaces que pretenden poder continuar la lectura iniciada.
En esta sección:
1.
Paradojas de
la predicción: la paradoja del condenado
2.
Paradojas de la
vaguedad: paradojas tipo Sorites
3.
Paradojas semánticas: la paradoja del mentiroso
4. Paradojas
epigramáticas
En Ciencia:
5.
Paradojas físicas: la paradoja de Fermi
6. Paradojas del
infinito: algunas paradojas de Zenón
7.
Paradojas lógicas: la paradoja de Russell
8.
Paradojas topológicas: la banda de Möbius y la botella de
Klein
En Cultura:
9.
Paradojas visuales
10.
Paradojas de
la teoría de la probabilidad: la paradoja de San Petersburgo
11.
Paradojas de la confirmación: las paradojas de Hempel y Goodman
1. Paradojas de la
predicción: la paradoja del condenado
En la Edad
Media, un rey de reconocida sinceridad, pronuncia su sentencia:
Una
mañana de este mes serás ejecutado, pero no lo sabrás hasta esa misma mañana,
de modo que cada noche te acostarás con la duda, que presiento terrible, de si
esa será tu última sobre la Tierra.
En la
soledad de su celda, el reo argumenta:
Si
el mes tiene 30 días, es evidente que no podré ser ajusticiado el día 30, ya
que el 29 por la noche sabría que a la mañana siguiente habría de morir. Así
que el último día posible para cumplir la sentencia es el 29. Pero entonces, el
28 por la noche tendré la certeza de que por la mañana seré ejecutado...
Continuando
de este modo, el prisionero concluye triunfalmente que la condena es de
ejecución imposible, y comienza a dormir aliviado, aguardando que transcurra el
mes para pedir su libertad. Sin embargo, sorpresa, un día cualquiera, por
ejemplo el fatídico día 13 (era martes),
el verdugo, con el hacha afilada en la mano, despierta al reo... que instantes
más tarde es decapitado. La sentencia se cumple literalmente.
¿Dónde ha
fallado el razonamiento del condenado?
Una
solución puede pasar por la noción fundamental de que no es lo mismo el día 30,
más el día 29, más el día 28, etc., que el
mes. Un conjunto es diferente y
contiene cualidades distintas de la mera adición de sus partes. El análisis
individual, día por día, por parte del prisionero es irreprochable. El defecto de su argumento
aparece cuando atribuye al conjunto este mes las mismas y exclusivas
cualidades que poseían sus partes (cada día), no advirtiendo que el
conjunto mes ha incorporado nuevas características, como por ejemplo la
de contener días sorpresa.
Hacia el
siglo III, el filósofo chino Hui Tzu afirmaba:
Un
caballo bayo y una vaca parda son tres:
el
caballo, la vaca, y el conjunto de caballo y vaca.
El
razonamiento no es trivial, y es la esencia
de la paradoja del condenado.
Hay
varias versiones de esta paradoja (exámenes sorpresa, etc.), que pueden verse en
http://en.wikipedia.org/wiki/Unexpected_hanging_paradox
o en
http://www-math.mit.edu/~tchow/unexpected.pdf.
2. Paradojas de la
vaguedad: paradojas tipo Sorites
Sorites es la
palabra griega para montón o pila. Las paradojas de tipo sorites, atribuidas al lógico Eubulides de Mileto, son una serie de
argumentos paradójicos que se derivan de los límites indeterminados de
aplicación de los predicados involucrados.
Veamos un
ejemplo: supongamos que tenemos un montón de arena: si se quita un grano de
arena, sigue siendo un montón. De otra manera, si dos familias de granos de
arena difieren en un grano, o bien los dos son montones o ninguno de los dos
los son. Esta aparentemente obvia y no controvertida suposición da lugar a la
conclusión paradójica de que todos los conjuntos de granos de arena, incluso
las colecciones formadas por único un grano, son montones. El problema aquí es
que la palabra clave montón es una palabra vaga.
Otros
ejemplos de estas paradojas son:
- el hombre con capucha:
dices que conoces a tu hermano, este hombre con la cabeza cubierta es tu hermano
y no le conoces...
- el hombre calvo:
¿describirías a un hombre con un pelo en la cabeza como calvo?
Algunas
respuestas a esta paradoja son:
- el acercamiento a un lenguaje ideal, cuyo atributo clave es su
precisión: la vaguedad del lenguaje natural
es un defecto a eliminar (propuesta por Frege y Russell);
- la utilización de lógicas multivaluadas (no clásicas),
como la lógica difusa de Goguen y
Zadeh (1969), que sustituye a la usual (dos-valuada) y que reconoce para un
objeto los grados de verdad;
- aceptar la paradoja: ninguna
cantidad de granos de arena hace un montón –o en otra versión– ¡la calvicie no existe!
3. Paradojas semánticas: la paradoja
del mentiroso
Fijémonos
en la sentencia
L: Lo que estoy diciendo ahora es falso.
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Liar significa mentiroso en inglés
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Si L
es verdad, es falsa, y si es falsa, es
verdad. ¿Es esto paradójico? Tenemos dos afirmaciones condicionales:
1) Si
L
es verdad, entonces es falsa.
2) Si
L
es falsa, entonces es verdad.
Asumiendo
que cuando algo es falso no es verdad, y que todo lo que es verdad no es falso,
1) y 2) pueden escribirse de la siguiente manera:
1*)
Si L
es cierta, entonces es no cierta.
2*) Si L es falsa, entonces es
no falsa.
Existe un
principio de razonamiento llamado consequentia
mirabilis, que dice que si una sentencia implica su propia negación, se
puede inferir su falsedad.
Ambas 1*)
y 2*) dan argumentos para este principio: 1*) asegura que si L
es cierto, implica su negación, luego el
principio nos lleva a inferir que L es no cierto; y de manera paralela, 2*) nos lleva a concluir que L
no es falso. Así, un razonamiento estándar garantiza que L es no cierto y no
falso. Luego L no es ni cierto ni falso.
¿Es esto
paradójico? No, excepto si se admite un principio de
bivalencia que afirma,
de manera esquemática, que toda sentencia es cierta o falsa.
¿Es todo
principio de bivalencia cierto? Las preguntas se expresan en sentencias, pero
no toda pregunta es o bien cierta o bien falsa. Supongamos entonces que
restringimos el principio a sentencias declarativas. Pero aún así hay
contraejemplos... Consideremos la sentencia:
Has
dejado de fumar.
Si tú
nunca has fumado, la sentencia es ciertamente falsa, pero decir que no es
cierta sugiere que sigues fumando... El principio de bivalencia se alcanza
debido a la creencia de que toda representación no defectuosa de cómo están las cosas
en el mundo, debe ser o bien correcta o incorrecta, verdadera o
falsa.
Una
solución a esta paradoja es la famosa jerarquía de
Tarski: el concepto ordinario
de verdad es incoherente y debe ser rechazado y reemplazado por una
serie de conceptos de verdad,
jerárquicamente ordenados y cada uno de ellos expresado en un lenguaje
diferente de cualquier lenguaje natural (es decir, de lenguajes que evolucionen
de manera natural).
Mucha
gente ha pedido algo de menos radical, una respuesta que preserve más de
nuestro pensamiento y lenguaje ordinario. Una de estas respuestas menos
radicales se basa en la noción de jerarquía de Tarski, pero afirma que esto
está de hecho implícito en nuestro actual uso de verdad. En contra de Tarski que afirma que el lenguaje ordinario es
irremediablemente defectuoso, esta alternativa afirma que los defectos son una
mera apariencia: la realidad subyacente es que usamos ya una jerarquía tipo
Tarski de los conceptos de verdad.
4. Paradojas epigramáticas
Los
epigramas primitivos,
como indica su etimología griega (epi,
sobre y gramma, escritura)
eran textos breves destinados a figurar como inscripción en un sepulcro, una base de estatua, etc. El epigrama
literario, muy difundido en época helenística, tiene su origen en estas
inscripciones y de ellas toma gran parte de las características del género:
brevedad, concisión, ingenio y vivacidad expresiva. El epigrama literario,
concebido para ser leído o recitado, extiende su temática y pasa a expresar la
más variada gama de sentimientos; se encuentran epigramas eróticos, satíricos,
costumbristas, festivos y, por supuesto, fúnebres.
A
continuación se dan una serie de epigramas, de diferentes autores y estilos.
Comenzamos con tres de las paradojas epigramáticas que
aparecen en los textos breves de Oscar
Wilde (1854-1900):
Y,
sin embargo, cada hombre mata lo que ama, sépanlo todos:
unos
lo hacen con una mirada de odio;
otros
con palabras cariñosas;
el
cobarde con un beso;
¡el
hombre valiente, con una espada!
Balada de la cárcel de Reading,
1896
- Gerardo: Supongo que se divertirá uno extraordinariamente en sociedad.
- Lord Illingworth: Formar simplemente parte de ella es insoportable. Estar excluido de
ella es sencillamente una tragedia.
Una mujer sin importancia,
1893
...Es tonto por su parte, pues sólo hay en el mundo una cosa peor que el que
hablen de uno, y es que no hablen.
El retrato de Dorian Gray,
1890
El
genial fabulista canario Tomás de Iriarte
(1750-1791) da la siguiente
descripción de un buen epigrama:
A la abeja semejante,
para que cause placer,
el epigrama ha de ser
pequeño, dulce y punzante.
El siguiente texto se debe al colombiano Benjamín
Pereira Gamba:
¿Crees en brujas, Garai?
Le dije a mi viejo criado.
No señor, porque es pecado;
Pero haberlas sí las hay.
Mariano José
de Larra (1809-1837) es el autor del divertido epigrama Siempre
ha gemido la prensa:
Siempre
ha gemido la prensa;
pero hoy que le das, Talidio,
a imprimir tus obras todas,
gime al menos con motivo.
El texto de debajo se debe al poeta argentino
Juan Cruz Varela (1794-1839):
“No hay mujer tan apegada,
Tan fiel, tan enamorada,
Tan tierna como la mía.”
Un amigo que le oyó,
me dijo: “Más la alabara,
Si entre él y ella pasara
Lo que pasa entra ella y yo.“
La mejor manera de terminar es con el conocido epigrama Saber sin estudiar, de Nicolás Fernández de
Moratín (1737-1780):
Admiróse un
portugués
de ver que en su
tierna infancia
todos los niños en Francia
supiesen hablar francés.
«Arte diabólica es»,
dijo, torciendo el mostacho,
«que para hablar en gabacho
un fidalgo en Portugal
llega a viejo, y lo habla mal;
y aquí lo parla un muchacho».
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Sobre la
autora
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Marta Macho
Stadler es Doctora en Matemáticas por
l'Université Claude Bernard de Lyon (Francia). Desde el año 1985 es profesora
en el Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco/Euskal
Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU). Su tema de investigación se centra en la teoría de
foliaciones. Ha impartido varias conferencias de divulgación en ciclos
celebrados en varias universidades del estado y es coorganizadora de Un paseo por la geometría en la UPV/EHU. Miembro de las Comisiones de Cooperación Internacional y de Mujeres y
Matemáticas de la RSME, es secretaria de la Comisión de Desarrollo y Cooperación del Comité Español de
Matemáticas, y pertenece a los Comités Editoriales de las revistas digitales Matematicalia e
IMAGEN-A.
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