Recibido: jueves, 20 abril 2006
Sistema multimedia destinado al aprendizaje interdisciplinar de curvas cicloides y fractales
José Javier Escribano Benito
Departamento de
Matemáticas
IES Valle del
Cidacos (Calahorra)
e-mail: jose-javier.escribano @ dmc.unirioja.es
María Pilar Jiménez Pomar
María Teresa Pérez Álvarez
José Antonio Virto Virto
José
Miguel Ayensa Esparza
Índice
1. Introducción
2. El empleo de sistemas multimedia en el aula de matemáticas, dibujo técnico y física
3. Objetivos
4. Descripción de la experiencia
4.1 Alumnado al que va dirigida
4.2 Metodología
4.3 Características del Sistema Multimedia
4.4 Contenidos del Sistema Multimedia
4.5 Evaluación de la experiencia
5. Conclusiones y perspectivas
Referencias
En la década de los 90 tuvo lugar
una eclosión del uso de microordenadores como instrumentos de adquisición e
intercambio de datos, potenciada por la aparición de Internet, presente en
todos los ámbitos de la vida cotidiana. La Educación, donde la transmisión e
interpretación de la información es un componente básico de la
enseñanza/aprendizaje, se ha visto afectada por el auge de las Nuevas Tecnologías
de la Información y de la Comunicación.
La evolución de los medios de enseñanza a lo largo de la última década no
es sólo una consecuencia del avance tecnológico, que facilita la inclusión de
los medios informáticos en el aula, sino del cambio producido en el mundo de
los adolescentes, cuyo vehículo de transmisión de la información que reciben y
generan es ahora diferente a la tradicional expresión oral y escrita. El
lenguaje audiovisual y la interacción de los niños y adolescentes con los ordenadores en los
juegos, búsqueda en Internet, conversaciones en chat, etc. mediatiza la interpretación de la información que les
llega a través de cualquier medio. La mayoría de ellos están acostumbrados a
utilizar dispositivos, máquinas, teléfonos móviles y ordenadores, con lo que se
han habituado a un nuevo código de expresión. Esto sugiere que los medios
informáticos son instrumentos que pueden favorecer el aprendizaje. El hecho de
que la informática educativa haya sobrepasado a otras tecnologías audiovisuales,
como el vídeo, DVD, audio, proyectores, etc., hay que imputarlo además a las
posibilidades interactivas que ofrecen los Sistemas
Tutoriales Informáticos.
Aunque los medios
informáticos ofrecen posibilidades interesantes en el proceso de enseñanza/aprendizaje,
no son herramientas de trabajo neutras, porque introducen ciertos sesgos,
valores y características propias. De hecho, todavía no se han incluido en las
aulas -y las de matemáticas, física y dibujo no son excepción- los medios informáticos de forma
generalizada, y constituyen actividades de tipo “extraordinario” o especial por una serie de razones, entre otras porque es necesario conocer la forma en
la que han de integrarse en el desarrollo del currículo. En esta experiencia se
muestra cómo puede combinarse el trabajo habitual de clase, de pizarra, lápiz y
papel con el empleo de herramientas multimedia.
Hemos señalado que el ordenador,
como herramienta didáctica, no es una herramienta de trabajo neutra, y que no se
ha generalizado su uso en las aulas. Entre las razones que señalan algunos
expertos cabe destacar:
- La dificultad que
conlleva el aprendizaje y manejo de ciertas aplicaciones informáticas; y relacionado
con esto, la falta de práctica como instrumento de aprendizaje de un buen
número de profesores.
- Los escasos datos de
la investigación educativa sobre los efectos que produce en el proceso de
aprendizaje y en el “producto” logrado. De hecho, no se ha demostrado que
ejerza sobre los alumnos que emplean el ordenador un efecto de mayor desarrollo
de la capacidad intelectual ni en el aprendizaje significativo.
- La introducción de
contenidos que entran en competencia con los programas, de forma que introducen
un “currículo paralelo” o distorsionan las del currículo programado.
- El riesgo de
inadaptación o falta de integración con las actividades habituales del aula -el
marco general de la tarea cotidiana en clase- y el modelo de participación de
los estudiantes en el proceso de enseñanza/aprendizaje. Este riesgo está
relacionado con la imagen de “virtualidad” que tienen los alumnos de los
contenidos de aprendizaje que se imparten en las aulas. Esto quiere decir que
lo que aprenden en el aula lo consideran diferente a lo que se aprende en la
“vida real”.
A pesar de que los medios
informáticos no se hayan implantado de forma generalizada y constituyan
actividades de tipo ?extraordinario? o especial, se ha constatado que actitud
de los alumnos hacia las actividades realizadas con estos medios es claramente
positiva. La familiaridad con medios informáticos hace que se pierda el
carácter ?extraordinario? de las actividades con multimedia y que las realicen
con satisfacción, lo que favorece su motivación. Más aún en aquellos alumnos
que siguen itinerarios dirigidos a una mayor especialización científica, dado
que encuentran herramientas alternativas a las resoluciones de problemas
habituales “de lápiz y papel”.
Merece destacarse que el diseño
de los Sistemas Multimedia en la enseñanza de las matemáticas, dibujo técnico y
física ha de tener en cuenta la finalidad formativa del aprendizaje en esas
materias y, en general, en cualquier otra. Están dirigidas al objetivo
fundamental de adquisición de conceptos y habilidades procedimentales, que es
el aprendizaje autónomo, es decir, el objetivo general de “aprender a
aprender”. Y también se ha de tener en cuenta que el desarrollo del pensamiento
deductivo ha de producirse de forma paralela al desarrollo del razonamiento
empírico-inductivo. Éste se fomenta por medio de tanteos previos y la
observación de las consecuencias que acarrea la modificación de las condiciones
iniciales. Por ello, el empleo de sistemas multimedia está dirigido hacia el
desarrollo de la capacidad hipotético-deductiva y al trabajo autónomo, dando al
trabajo en el ordenador un carácter eminentemente experimental. La experiencia
que mostramos trata un área o parcela poco habitual en la enseñanza de la
geometría, dado que se circunscribe sólo a la resolución de problemas
“curiosos”, relacionados con cicloides y fractales. El estudio de cicloides
está contemplado en el currículo de dibujo técnico y en matemáticas (Matemáticas
II, del Bachillerato de Tecnología y Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, y Matemáticas
de la Forma, de la modalidad Bachillerato de Artes). De forma colateral,
las curvas cicloides se contemplan en problemas de física, en la descripción de
movimientos combinados de
rotación-traslación (y al estudiar el modelo histórico del geocentrismo para
explicar los movimientos celestes antes del modelo heliocéntrico).
Por otro lado, conviene recordar
que la atención a la diversidad exige la adaptación del currículo a las
capacidades de los alumnos. En el sistema educativo actual se prevén tres vías
para el tratamiento de la diversidad: las adaptaciones curriculares, la diversificación
curricular y el espacio de la opcionalidad. La opcionalidad
permite a los alumnos elegir itinerarios educativos que se adecúen a sus capacidades, intereses y aptitudes. En
dos de los centros en que se ha llevado a cabo la experiencia se ofrece, a
aquellos alumnos cuyos intereses y aptitudes permiten una mayor profundización
en el área de las matemáticas, cursar en 2º y 4º de ESO Taller de
Matemáticas. En dicha materia se abordan problemas que permiten acceder a
una ampliación y profundización en geometría. Por ello, también se llevó a cabo
la experiencia en esta materia.
Pese a las dificultades que
suponíamos íbamos a encontrar al introducir problemas “raros” o “curiosos”, nos
animaba el saber que las actitudes de los alumnos son claramente positivas
cuando han tenido experiencias gratificantes; y en este caso utilizarían
herramientas alternativas a las resoluciones de problemas habituales “de lápiz
y papel”. Además, la familiaridad que tenían con los medios informáticos nos
hacía suponer que se perdería el carácter “extraordinario” de las actividades
con multimedia y que las realizarían con satisfacción, lo que favorecería su
motivación.
Se consideró que, a menudo, los estudiantes tienen la concepción de
que los aprendizajes adquiridos en la enseñanza son de tipo “virtual”, es
decir, alejados de lo que les interesa aprender, que se “adquiere en la vida
real”. Por ello, se pensó que se
evitaría esta concepción si se procuraba aproximar los objetos de aprendizaje a
los problemas corrientes que se plantean en la vida cotidiana, de modo que se
lograría llamar la atención del alumno e interesarlo en un aprendizaje que
consideraría más próximo, útil, ameno y, en definitiva, más motivador en la adquisición de procedimientos en geometría. También se planteó propiciar el
aprendizaje por medio de la resolución de situaciones problemáticas de interés.
Si el aprendizaje aparece a los ojos del estudiante como una búsqueda de
soluciones a determinados problemas tomados de la vida real (aunque puedan
parecer demasiado complejos), desaparece la separación “artificial” entre
conceptos y resolución de ejercicios de aplicación (que no son verdaderos
“problemas”). Por ello, se sugiere comenzar por proponer problemas o actividades
que presenten situaciones problemáticas, relacionadas con la geometría de
ruletas, cicloides y fractales, cuya resolución exige elaborar un plan que
incluye el estudio de ciertos conceptos imprescindibles para el planteamiento
del problema.
3. Objetivos
Los objetivos
que planteamos en la experiencia son:
1. Conjugar el
aprendizaje de conceptos y procedimientos de la geometría
bajo el punto de vista de las
matemáticas, la física (composición de movimientos de rotación-traslación) y el
dibujo técnico de enseñanza secundaria, mediante el planteamiento y resolución de problemas “curiosos” relacionados con cicloides y
fractales.
2. Orientar a
profesores y alumnos en un método de trabajo en geometría que integra métodos tradicionales (resolución de problemas de “papel y lápiz”) con métodos innovadores, por medio de un Sistema Multimedia que combina diversas
herramientas informáticas (Maple - cicloides, Visual Basic y LOGO - fractales).
3. Aportar una metodología innovadora de aprendizaje dirigido a la resolución de problemas
relacionados con la geometría, con una perspectiva interdisciplinar, con el propósito de hacer más efectivo
y atractivo el aprendizaje.
4. Descripción de la experiencia
4.1 Alumnado al que va dirigida
El proyecto se realizó con alumnos de 2º y 4º de ESO (Taller de Matemáticas), 1º de
Bachillerato (Matemáticas y Dibujo Técnico) y 2º de Bachillerato (Matemáticas y Física). También puede realizarse (aunque en nuestros centros no
se imparte esta materia) en Matemáticas de la Forma del Bachillerato de Artes.
4.2 Metodología
La metodología que
proponemos, en forma resumida, sigue la secuencia de trabajo expuesta en los
puntos siguientes.
1. Se forman pequeños grupos de trabajo a los que se propone la elección de
un problema relacionado con la geometría de cicloides o fractales. La propuesta
de trabajo en equipo permite desarrollar habilidades sociales. El trabajo en
pequeño grupo facilita las interacciones alumno-alumno. La ejecución de una
tarea científica colectiva suele ser mejor que la individual: la
actuación conjunta de todos los miembros del grupo permite estructurar mejor
las actividades y evitar el desánimo, porque es más facil encontrar estrategias
de resolución en grupo. Se ha procurado que los materiales necesarios para
llevar a cabo las actividades estén al alcance de todos o puedan construirse
con materiales caseros.
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2. Se elabora un plan destinado a resolver el problema planteado, que incluye la exploración
de la información contenida en la aplicación multimedia y la búsqueda de
una estrategia de resolución acorde con los conocimientos previos necesarios,
con el curso al que pertenecen los alumnos y con el nivel de los grupos de trabajo.
Éstos dependen de los contenidos estudiados en matemáticas, física o dibujo y del nivel (primer ciclo de
ESO, 2º ciclo de ESO y Bachillerato) que cursan. Ya se ha señalado que en el
caso de los alumnos de ESO es preciso incidir más en los aspectos procedimentales,
aunque conviene resaltar que se trata de conjugar aspectos conceptuales con contenidos procedimentales. Hay
que tener en cuenta que en la enseñanza de las matemáticas y de las ciencias
se trata de desarrollar destrezas dirigidas a la elaboración de estrategias
destinadas a la resolución de problemas (o cumplimentar una determinada demanda
u objetivo). Los estudiantes emplean estrategias de aprendizaje cuando son
capaces de ajustar lo que hacen (y lo que piensan) a las exigencias de la
actividad que tienen que realizar.
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3. Se
resuelven los problemas planteados, de forma
tradicional (lápiz y papel) y se analizan los resultados. Conviene que en el análisis de resultados se
adelanten las soluciones que cabría esperar en determinadas situaciones. Con posterioridad se comparan
con las soluciones que se sugieren en las actividades contenidas en cada sección del Sistema Multimedia.
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4. Los
resultados obtenidos se presentan a los compañeros en clase, describiendo el
planteamiento del problema y el modo en que se ha obtenido la solución. Podría pensarse que la realización
de actividades “sencillas” y “diferentes” a las tradicionales de clase,
“distraen” al alumno y rompen el hilo conductor teórico programado en el
currículo, lo que redundaría en detrimento del aprendizaje conceptual. Como
respuesta a esta idea cabe indicar que la enseñanza no persigue, como
ingenuamente suele aceptarse, la acumulación de conocimientos, entendida como suma de aprendizajes puntuales, sino la reestructuración de la estructura mental del alumno, quien ha de
adaptarla a los nuevos objetos de aprendizaje.
5.
Se ensayan también las soluciones que se dan, a título de hipótesis, en
el análisis de resultados. Se abordan otros problemas que contemplen todos los
casos que se presentan en este Sistema Multimedia, siguiendo una secuencia de
menor a mayor complejidad.
Hemos indicado la formación de grupos de trabajo (de 3 ó 4 alumnos) a
los que el profesor asigna una de las actividades que figuran en la aplicación
multimedia, se adecúan a las características de los estudiantes, de modo que la
dificultad para realizarla sea acorde con las aptitudes de los alumnos del
grupo (el profesor ha de valorar antes las actividades idóneas para plantear a cada
grupo de trabajo). Se les pide a los alumnos que tracen un plan de acción,
que incluye “navegar” por la aplicación multimedia, con objeto de que accedan a
la información que en ella se proporciona.
Las actividades se
presentan agrupadas en tres niveles:
Primer ciclo de la ESO
- Descripción de las imágenes fractales identificando la parte que se reitera
indefinidamente. Con ello se intenta que el alumno utilice el lenguaje y los
métodos habituales de las matemáticas para comunicarse de manera precisa y
rigurosa. También se pretende que el alumno identifique formas y relaciones
espaciales, analizando las propiedades y relaciones geométricas
implicadas.
- Dibujo y realización, con diferentes materiales, de algunos fractales (en
sus primeros niveles). Se constata que muchos alumnos (incluso los que no
tienen interés por la materia) son sensibles a la belleza de estas
construcciones y se sienten motivados por ellas. Se intenta que las actividades
contribuyan a la comprensión de las
relaciones entre el lenguaje visual y plástico y el lenguaje matemático, y a
favorecer la adquisición de las técnicas básicas para dibujar con precisión
figuras geométricas.
- Determinar la longitud, y el área limitada por una curva
fractal en sus primeros niveles y cuantificar diferentes elementos (número de
lados, de triángulos,...). Esto permite que el alumno utilice diferentes
conceptos geométricos, manipule expresiones numéricas e identifique y describa
regularidades, pautas y relaciones en formas geométricas similares.
- Buscar fractales en la web y en la naturaleza. Estas actividades permiten
que el alumno se familiarice con la búsqueda de información en Internet. Y que conozca e identifique las formas espaciales, para conseguir un mejor
conocimiento del mundo real.
Segundo ciclo de la ESO
- La “visualización” de las
cicloides como curvas mecánicas generadas por la trayectoria
de un punto y su construcción con materiales adecuados puede servir para
introducir de forma intuitiva el concepto de lugar geométrico.
- La búsqueda de métodos
sencillos (sin herramienta matemática) para relacionar la
longitud de un arco de cicloide con el diámetro del círculo, o la superficie que
encierra un arco de cicloide con la superficie del círculo, permite la
formulación y comprobación de conjeturas acerca de propiedades geométricas.
- En
general, las actividades previstas en esta aplicación permiten “identificar
las formas y relaciones especiales que se presentan en la realidad,
analizando las propiedades y relaciones geométricas implicadas y siendo
sensible a la belleza que generan”, que es uno de los objetivos previstos en
las enseñanzas mínimas para la ESO (R.D. 1007/1991) en esta etapa.
- Se
introducen los conceptos de sucesión, límite de una sucesión, progresión
geométrica. Por ello, consideramos que es el momento de pedir al alumno que desarrolle
procesos de inferencia, descubriendo leyes generales para un fractal de nivel n a partir de los datos obtenidos en los primeros niveles. En particular,
se propone que el alumno calcule la longitud y el área encerrada por una curva
fractal mediante un paso al límite.
- Las curvas fractales deben servirnos también para profundizar en los conceptos
de semejanza, movimiento y homotecia en el plano.
Bachillerato
- Estudio de lugares
geométricos: las cicloides, hipocicloides y epicicloides como
el lugar geométrico descrito por la trayectoria de un punto. Las ecuaciones más
sencillas de estas curvas, sus propiedades y su presencia en la ciencia y en la
técnica.
- Análisis
de los casos particulares más notables: cardioide, nefroide, deltoide y
astroide. El enfoque que debe darse al estudio de dichas curvas contempla un
desarrollo en profundidad de los procedimientos relacionados con el trazado de
éstas. La medición de áreas y longitudes debe realizarse con técnicas
experimentales o razonamientos intuitivos que no requieran del uso del cálculo
integral.
- Construcción
de las cicloides, epicicloides e hipocicloides normal, alargada y acortada.
Trazado de tangentes y normales. Y la construcción de la envolvente de la
circunferencia.
Los
fractales son un buen pretexto para que los alumnos de bachillerato reflexionen
sobre los siguientes conceptos:
- Longitud y área.
Por ejemplo, la curva de Koch tiene longitud infinita -de hecho, la distancia
entre dos puntos cualesquiera de la curva es infinito- y, sin embargo, delimita
una superficie de área finita. La curva de Sierpinski ocupa totalmente el
cuadrado en que se inscribe y limita una superficie cuya área son los 5/12 del
área de dicho cuadrado.
- Continuidad y derivabilidad.
En la aplicación informática presentamos diversas curvas cerradas que son
continuas y no derivables en ninguno de sus puntos.
- Dimensión.
Existen fractales, como la curva de Hilbert o la curva de Sierpinski, que pasan
por todos los puntos de una superficie. Se proponen problemas relativos a
identificar el tipo de fractales que se generan dadas las dimensiones de la
curva y la superficie. Por ejemplo, si la dimensión de una curva es uno y la de
una superficie es dos, ¿cuál es la dimensión de estas curvas que rellenan el
plano?
- Los
fractales son un ejemplo excelente de procedimientos recursivos. Dada la
importancia de este concepto en matemáticas e informática, se proponen algunas
actividades dedicadas a que los alumnos se habitúen a utilizar procedimientos
recursivos.
- Las
curvas fractales forman parte del currículo de la asignatura de Matemáticas de
la Forma del Bachillerato de Artes y por ello, hemos incluido actividades
destinadas al estudio de este tipo de curvas.
Conviene señalar que cuando el grupo de
alumnos tenga asignada la actividad que debe resolver, ha de identificar el
tipo de problema que se le ha planteado antes de abordarlo y acceder a la
información conceptual del área correspondiente en el Sistema Multimedia. Por
ejemplo, supongamos que se le plantea resolver el siguiente problema:
Un velocípedo similar a los que se construían en el siglo XIX se
mueve en una superficie horizontal. ¿Cómo es la trayectoria, respecto de un
observador inmóvil, de la válvula del neumático delantero? ¿Cómo es la del
neumático trasero? ¿Y la del pedal?
La resolución
del problema pasa por su planteamiento preciso, lo cual requiere
la identificación del área conceptual pertinente. Por ello, el alumno ha de
entrar en la página dedicada a CICLOIDES. El acceso a las páginas no requiere
tener ningún conocimiento previo de aplicaciones multimedia. Bastará con
acceder a la información y explorar el contenido de las mismas o seguir las
indicaciones que se den en la propia página. En este ejemplo, los alumnos
identificarán pronto que lo que se pide es la obtención de sendas cicloides
(normales las correspondientes a las válvulas de los neumáticos delantero y
trasero, y acortada la correspondiente al pedal).
4.3 Características del Sistema Multimedia
Las actividades están diseñadas en Maple, Visual-Basic y LOGO.
Están presentadas en soporte electrónico, en lenguaje HTML, con objeto
de que puedan ser difundidas en Internet y utilizadas en el aula -en línea o
en modo local- o en el hogar, por profesores y alumnos. No se necesita tener
experiencia con editores de páginas web ni procesadores de texto, dado que
basta con acceder al Sistema Multimedia y navegar por la aplicación.
El
carácter interdisciplinar de nuestra propuesta favorece la relación de
diferentes aspectos de una misma realidad y el establecimiento de conexiones
entre los conocimientos de diferentes áreas instrumentales, lo que redunda en
aumentar la significatividad del aprendizaje. El abordar problemas relacionados
con las matemáticas, la física y el dibujo permite ofrecer una visión más
cercana del aprendizaje a los problemas cotidianos, porque se favorece adquirir
un punto de vista amplio de la utilidad de los contenidos.
Se ha procurado poner énfasis en
las relaciones ciencia-tecnología-sociedad;
no sólo en el aspecto “práctico” de las actividades propuestas, sino en
el propio tratamiento de los contenidos conceptuales, en los que hace alusión a
la historia de la ciencia y de las matemáticas y se citan personajes
históricos que han realizado importantes aportaciones a la geometría, a la
física o al dibujo. Con este fin, se ha incorporado un glosario biográfico al que se accede por hipertexto.
Se han incluido un conjunto de
actividades al final de cada sección. Su ubicación “al final” de las secciones
no ha de entenderse como que constituyan un apéndice o colofón de éstas, sino que se
utilizan como actividades problemáticas o problemas que han de resolverse a
partir de los conceptos pertinentes.
4.4 Contenidos del Sistema
Multimedia
Cicloides
y ruletas [hacer click sobre el título para acceder al módulo]
- Introducción
- Cicloides
y Ruletas
- Cicloide
- Natural
- Acortada
- Alargada
- Epicicloide
- Natural
- Acortada
- Alargada
- Hipocicloide
- Natural
- Acortada
- Alargada
- Actividades
didácticas
Fractales [hacer click sobre el título para acceder al módulo]
- Aplicación
Visual Basic
- Árbol
- Cristal
de nieve
- Anticristal
de nieve
- Alfombra
de Sierpinski
- Curva
de Sierpinski
- Curva
de Hilbert
- Curva
de dragón
- Curva
de Mandelbrot
- Actividades
para el alumno
- Indicaciones
para el profesor
- Descargar
archivos en LOGO
Glosario Biográfico [hacer click sobre el título para acceder al módulo]
4.5 Evaluación de la experiencia
Al analizar los resultados
obtenidos y la opinión de los alumnos, que se recabó al finalizar la
experiencia, cabe señalar que los estudiantes valoraron de forma positiva el
haber trabajado de forma autónoma en los grupos, pese a que al principio
requerían a menudo la ayuda del profesor.
Los alumnos mostraron al
principio cierto temor a compaginar el trabajo habitual de clase con el
ordenador, porque están poco habituados a armonizar ambos. El hecho de utilizar métodos tradicionales combinados con métodos innovadores o recursos
variados facilita la superación del “miedo” o “respeto” inicial, al darse
cuenta que el ordenador no es sino un material o herramienta útil que facilita
el trabajo en la resolución de problemas. Con todo, hay que remarcar las
diferencias entre los alumnos que habían tenido como materia optativa
Informática en cursos anteriores, o que disponen en su domicilio de ordenador
y conexión a Internet, de los alumnos que entran en contacto por primera vez
con el ordenador. Los primeros se movían con soltura y realizaron pocas
preguntas al utilizar el Sistema Multimedia, mientras que los segundos
mostraron falta de confianza e inseguridad. Con el fin de evitar que los alumnos
sin experiencia con el ordenador estuvieran solos, se hicieron los grupos
teniendo en cuenta este aspecto y el nivel de competencia de los integrantes.
También se procuró que fueran los alumnos con poca experiencia en el ordenador
los que tuvieran mayor acceso al teclado del mismo, con el propósito de evitar
que resultaran marginados por los alumnos habituados a su manejo.
Merece destacarse también que no
todas las tareas que realizaron los alumnos son valoradas de igual forma. Por
ejemplo, una de las tareas que menos les gustaba era la presentación en clase
ante los compañeros de los resultados de los problemas o actividades que habían
hecho, y mostraban falta de confianza, cierta vergüenza y nerviosismo. Este
problema fue mayor en los primeros grupos y disminuyó a medida que
adquirieron cierta “familiaridad“. También calificaron de “muy complicadas” las
tareas relacionadas con el planteamiento y búsqueda de “estrategias de
resolución”, etapa en la que recabaron con asiduidad la ayuda del profesor.
La utilidad del ordenador fue
valorada más en el trabajo con fractales que en el trabajo con cicloides, en el
caso de los alumnos de Matemáticas. Tal vez porque en el ordenador comprobaban
que la evolución de las series (desarrollo de los “árboles”) o la evolución de
éstas era la correcta. Dicho de otro modo, con el sistema multimedia
confirmaban si se cumplían las hipótesis, esto es, comprobaban que se obtenía
lo que esperaban.
También señalaron que los
problemas planteados eran “más reales” (cercanos a la realidad) y más amenos que
los propuestos habitualmente en clase. E indicaron que se habían interesado más
por las actividades, ya que tenían que realizarlas ellos solos y presentarlas
al resto de la clase. Así mismo, merece destacarse que los estudiantes
apreciaban que la seguridad en sí mismos había aumentado, porque los problemas
y actividades presentadas (pese a que se tratan conceptos complicados) estaban
al alcance de sus posibilidades.
El profesor, salvo en la fase
preliminar de formación de grupos y proposición de problemas o tareas, se limitó
a adoptar un papel “secundario” de apoyo o consulta cuando un grupo no avanzaba
en la realización de la actividad propuesta. Al ser consultados los alumnos
sobre el papel adoptado por el profesor, hubo diferencias de opiniones: algunos
mostraron cierto desacuerdo con el papel secundario adoptado, y manifestaban estar más acostumbrados a trabajar de una forma más dirigida.
Con todo, admitían que era necesario habituarse a trabajar de forma cada vez
más autónoma, siempre y cuando estuviese claro el objetivo o meta que debían
alcanzar.
Por último, la inmensa mayoría
manifestó que deseaban realizar actividades similares, en las que se
compaginaría la resolución de problemas mediante métodos o materiales
tradicionales con sistemas multimedia, en otras áreas de la geometría, las
matemáticas o la física (en el caso de los alumnos de Física).
5. Conclusiones y perspectivas
Hoy han proliferado
aplicaciones informáticas destinadas al aprendizaje, aunque todavía no se han
incluido en las aulas de forma generalizada, porque su uso no está exento de
dificultades y, sobre todo, porque es necesario que se integren en el trabajo
cotidiano del aula como una herramienta más destinada al desarrollo del currículo.
En este trabajo se describe una experiencia de utilización de un
Sistema Multimedia destinado al aprendizaje en educación secundaria de
problemas curiosos de cicloides y fractales. La aplicación multimedia está
realizada con diferentes herramientas informáticas presentadas en soporte electrónico en lenguaje HTML, con la intención
de que puedan ser utilizadas en cualquier aula y difundidas a través de
Internet. La experiencia se ha llevado a cabo en diferentes centros con
alumnos interesados en la profundización y especialización en áreas
relacionadas con la geometría de curvas cicloides y fractales. En ella se ha mostrado cómo puede combinarse el trabajo habitual de clase, de pizarra,
lápiz y papel, con el empleo de herramientas multimedia. De este modo se presenta
la manera de combinar
el trabajo habitual del aula, de resolución tradicional de problemas curiosos
relacionados con cicloides y fractales
con el empleo de las Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación.
Las
actividades presentadas y el contenido del sistema multimedia tienen una
perspectiva interdisciplinar que integra matemáticas, física y dibujo técnico.
El carácter interdisciplinar de la experiencia permite a los alumnos (y
a los profesores) establecer conexiones entre los conocimientos de diferentes
áreas instrumentales y aumentar la significatividad del aprendizaje. Además se
logra adquirir una visión del aprendizaje más cercana a los problemas
cotidianos, porque se favorece tener un punto de vista amplio respecto de la
utilidad de los contenidos. No se han olvidado las relaciones
ciencia-tecnología-sociedad, porque se mencionan episodios de la historia de la
ciencia y se citan personajes históricos que han contribuido al desarrollo de la
geometría, la física o el dibujo, a cuya biografía se accede por hipertexto.
Además de las
aportaciones metodológicas, en las que se ha puesto énfasis con el propósito de
mostrar el modo de combinar el trabajo habitual en el aula, sobre resolución tradicional de
problemas, con el empleo de las Nuevas Tecnologías de la Información y la
Comunicación, se ha ofrecido una valoración del trabajo desarrollado por los
alumnos y las dificultades encontradas. Se destaca que la utilidad del ordenador fue mejor valorada por los alumnos de matemáticas en el
trabajo con fractales que en el trabajo con cicloides, porque con el Sistema
Multimedia confirmaban si se cumplían las hipótesis o las soluciones obtenidas
con medios tradicionales.
Se pone de relieve que los alumnos realizan
con agrado las actividades que se les propone, entre otras razones porque los Sistemas multimedia son atractivos para los
alumnos habituados a navegar con el ordenador. Por último, cabe resaltar que se vislumbra un campo
extenso de utilización de las aplicaciones multimedia en otras áreas de la geometría, las matemáticas o la física
de una forma integrada en el currículo de estas materias, porque se pueden hacer compatibles con el trabajo habitual del
aula.
Referencias
Encyclopédie
des Formes Mathématiques Remarquables,
http://www.mathcurve.com/fractals/fractals.shtml.
L. Figueiras, M. Molero, A.
Salvador, N. Zuasti: Una propuesta
metodológica para la enseñanza de la geometría a través de los fractales. Suma
35 (noviembre 2000), 45-54.
M. de Guzmán et al.: Estructuras
fractales. Madrid: Labor, 1993.
B. Mandelbrot: La
geometría fractal en la naturaleza. Barcelona: Tusquets, 1997.
J.C. Moreno-Marín: Experiencia didáctica en Matemáticas:
construir y estudiar fractales. Suma 40 (junio 2002), 91-104.
T. Queralt Llopis: Fractales en la ESO. Suma 24 (junio
1997), 81-88.
Real Decreto 1345/1991, de
6 de septiembre,
por el que se establece el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria.
J. del Río Sánchez: Lugares geométricos. Cónicas. Madrid: Síntesis, 1996.
L. Rosado, J. González:
Multimedia e hipertexto: aplicación en la enseñanza de las ciencias y la
tecnología. Madrid: UNED, 1997.
L. Rosado, J.R. Herreros:
Internet en la enseñanza de la física. Madrid: UNED, 1998.
V. Trigo, A. Camacho: Manual
de Turbo Pascal para las enseñanzas medias. Madrid: Anaya-Multimedia, 1988.
M. Zapata: Integración
de la geometría fractal en las matemáticas, y en la informática, de secundaria:
¿Qué son y cómo pueden los fractales ayudar a representar y a organizar el
espacio? Murcia: CPR Murcia II, 1996.
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Sobre los autores |
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José Javier
Escribano Benito es doctor en Matemáticas y catedrático de Matemáticas en el IES Valle
del Cidacos (Calahorra).
María Pilar Jiménez Pomar
es licenciada
en Ciencias Matemáticas y catedrática de Matemáticas en el IES Marco Fabio
Quintiliano (Calahorra).
María Teresa Pérez Álvarez
es licenciada
en Ciencias Matemáticas y profesora de Matemáticas en el IES Marqués de
Villegas (Nájera).
José Antonio Virto Virto
es licenciado
en Ciencias Matemáticas y profesor de Matemáticas en el IES Marco Fabio Quintiliano
(Calahorra).
Este grupo de
profesores se ha interesado por la introducción de las Nuevas Tecnologías en
la clase de matemáticas, elaborando materiales didácticos en formato
electrónico.
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