Recibido: viernes, 25 noviembre 2005
A propósito de los prismas y antiprismas
Eliseo Borrás
Departamento de Matemáticas
IES F. Ferrer i Guardia (Valencia)
e-mail: eborras @ mail.ono.es
Javier Carvajal
Departamento
de Didáctica de la Expresión Musical, Plástica y Corporal
Universidad
de Valencia
e-mail:
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Introducción
En una charla informal en la que Javier mostraba su
hermosa colección de poliedros que macizan el espacio de
la exposición De Natura Reticular
surgieron los antiprismas y una cuestión referente a ellos:

Figura 1. Prisma cuadrado.
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¿Qué relación
hay entre el volumen de un antiprisma y el prisma correspondiente de igual altura?
Un antiprisma
es un sólido formado por dos polígonos regulares iguales, situados en dos
planos paralelos, siendo cada uno de los vértices de uno de ellos equidistante
de dos vértices del otro, por lo que las caras laterales son triángulos. Si las
bases son triángulos, el antiprisma se llama triangular; si cuadrados,
cuadrado; si pentágonos, pentagonal; etc.
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Figura 4. Antiprisma cuadrado (a) y sección
media (b).
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Sea 
el radio de la circunferencia que circunscribe
a los polígonos básicos de 
vértices; 
el radio del círculo inscrito en la sección
del antiprisma por la altura media; 
el radio del círculo circunscrito a dicha
sección; y 
el radio del círculo inscrito al triángulo de
la base. Se tiene:

; 
; 
.
El volumen del
antiprisma lo calculamos siguiendo el
método de recomposición dado anteriormente, que conduce al prisma y dos
pirámides rectangulares por cada cara de éste, cuya altura es la diferencia 
entre los radios:

La
gráfica de esta función es la de la Figura 6.

Figura 6.
 es la diferencia entre el radio r del círculo inscrito en la sección
del antiprisma por la altura media y el radio  del círculo inscrito al triángulo de la base
de  vértices.
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Así que si tomamos como variables el radio 
y
la altura 
,
o el lado 
de
los polígonos básicos y la altura 
,
obtenemos para el volumen del prisma ( 
), de las pirámides ( 
) y del antiprisma ( 
):
Si las caras laterales del antiprisma son regulares,
teniendo en cuenta la Figura 7
obtenemos:
Si 
es la arista:
1.
Prisma y antiprisma
triangular (octaedro regular):

2.
Prisma y antiprisma cuadrado:

Hay tres casos especiales:
a)
Cuando 
tiende
a infinito el volumen del prisma es el del cilindro, como era de esperar; el de
las pirámides es 0; y el del antiprisma es también el del cilindro:
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Figura 8. Antiprisma y prisma de infinitos vértices.
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b)
Cuando 
es
1, el prisma y el antiprisma se reducen a una recta, por lo que su volumen es
0.
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Figura 9. Antiprisma y prisma de 1 vértice.
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c)
Cuando 
es 2, el prisma, que podemos llamar prisma lineal, se reduce a un rectángulo,
cuyo volumen es 0; pero el antiprisma
lineal tiene el volumen del tetraedro (ver Figura 10):

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Figura 10. El antiprisma lineal o tetraedro (a) se reduce a un prisma lineal, que es un rectángulo,
más
cuatro pirámides de base rectangular (d), mediante los pasos intermedios (b)
y (c).
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Volumen de prismas y antiprismas:
Segundo método
El antiprisma puede
descomponerse en tetraedros de modo que el centro de aquél sea el origen
de coordenadas. Asignando coordenadas a los vértices, se puede calcular el
volumen de cada uno mediante determinantes. En la Figura 11
se observa la descomposición en tetraedros en el antiprisma cuadrado.

(a)
|

(b)
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Figura 11. El antiprisma cuadrado (a) se
descompone en 8 tetraedros y dos pirámides de base cuadrada (b).
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Podemos asignar a cada prisma y antiprisma las
coordenadas de sus vértices en un sistema de ejes cartesianos 3D:
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Figura 12. Sistema de coordenadas cartesiano cuyo
centro O es el del antiprisma.
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Si situamos las bases en planos paralelos al plano xOy, las coordenadas x e y son las componentes de los
números complejos que siguen, siendo α el
ángulo entre dos vértices consecutivos:


, si 
es impar

, si 
es par.
Para la otra base, las coordenadas son,
respectivamente:

, si 
es par

, si 
es impar.
La tercera coordenada es la mitad de la altura del
antiprisma: 
y 
,
lo que dará las coordenadas 
y

.
Todo antiprisma regular de 
vértices básicos se descompone en 
tetraedros
iguales -cuyos vértices son: dos de una de las bases, uno de la base opuesta, y
el cuarto es el centro del prisma- y 2 pirámides iguales, cuya base es la del
antiprisma y cuyo vértice es el centro del antiprisma. Por tanto, para hallar
el volumen total, basta hallar el de un tetraedro y el de una pirámide.
El del tetraedro determinado por los vectores 
,

, 
es:

Por
lo tanto, el volumen del antiprisma es:

,
que
es el mismo resultado que el obtenido en (3).
Áreas
Puestos a calcular, puede comprobarse que el área
total de prismas y antiprismas es, respectivamente, si 
:
Así que el área del prisma es siempre menor que la
del antiprisma correspondiente de la misma altura, excepto en los dos casos
límite: 
,
que es 0; y 
,
que es 
.
Si el antiprisma es regular, teniendo en cuenta el
valor de 
dado
por (4), se obtienen las bonitas fórmulas:
Antiprismas
y poliedros platónicos
Es habitual representar el tetraedro y el cubo
apoyados sobre una de sus caras, mientras que los otros tres poliedros
regulares se apoyan sobre uno de sus vértices. La manipulación de los cuerpos
permite descubrir otros puntos de vista que aportan nuevas representaciones y
relaciones:
Si un tetraedro se apoya sobre una de sus aristas (Figura
10a), constatamos que
es un antiprisma lineal ( 
).
Si un octaedro se apoya sobre una de sus caras (Figura
3a) estamos frente al
antiprisma de orden 3 ( 
).
El cubo es un prisma de orden 4 ( 
).
Si apoyamos un icosaedro por uno de sus vértices (Figura
13a), y lo cortamos por
arriba y abajo mediante un corte plano que suprima las pirámides pentagonales
correspondientes, obtenemos una rodaja (Figura
13b) que es un
antiprisma de orden 5 ( 
).

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Figura13a. Apoyamos un icosaedro
por uno de sus vértices.
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Figura 13b. Lo
cortamos por arriba y abajo, mediante un corte plano que suprima las
pirámides pentagonales correspondientes. Obtenemos una rodaja que es un
antiprisma de orden 5 (n=5).
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No
es posible formar un antiprisma a partir del complejo dodecaedro.
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Figura 14. Giro de la base de un prisma
respecto a la otra un ángulo AOA’,
alrededor del eje de simetría del prisma.
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Figura 15. Base del prisma y del antiprisma.
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Figura 17. Construcción de las bases del antiprisma
rectangular √2.

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Sobre los autores
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Eliseo Borrás
Veses es licenciado
en Ciencias Físicas por la Universidad de Madrid, doctor en Matemáticas por
la Universidad Politécnica de Barcelona. Profesor de matemáticas de enseñanza
secundaria en el IES “F. Ferrer i Guardia” de Valencia, ha sido profesor
asociado, durante cuatro años, en el Departamento de Álgebra de la Facultad de
Matemáticas de Burjassot (Valencia). Ha impartido cursos de formación
permanente para profesores de enseñanza secundaria. Dirigió el proyecto de
enseñanza de las matemáticas del Grupo Cero y colaboró en el Programa de
Formación permanente de profesores en la Comunidad Valenciana. Autor de
libros, artículos y conferencias sobre el aprendizaje de las matemáticas en
la enseñanza primaria y secundaria y temas de carácter interdisciplinar, ha
coordinado diversas exposiciones con
Javier Carvajal Baños y Pilar Moreno Gómez.
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Javier Carvajal Baños es licenciado en Bellas Artes por
la Facultad de San Fernando de Madrid. Ha realizado estudios de solfeo y
guitarra en los conservatorios de León y Madrid. Profesor titular del
Departamento de Didáctica de la Expresión Musical, Plástica y Corporal de la
Universidad de Valencia, desde 1976 es socio y colaborador del Movimiento de
Renovación Pedagógica “Acción Educativa” (Madrid). Es autor de numerosos
trabajos, exposiciones, cursos y conferencias de carácter interdisciplinar
relacionando la plástica con los diversos lenguajes (musical, matemático,
lingüístico), por los que ha recibido varios premios. Colaborador con el Grupo
Cero de Matemáticas en varias publicaciones y congresos, ha impartido cursos
de geometría en la Facultad de Matemáticas de Burjassot (Valencia), así como
cursos de formación permanente para profesores de enseñanza secundaria.
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