Recibido: miércoles, 19 abril 2006; revisado: lunes, 01 mayo 2006
La matemática financiera y el nacimiento de
una nueva disciplina
María Cristina Mariani
Department of
Mathematical Sciences
New Mexico State University (USA)
e-mail:
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página web: http://www.math.nmsu.edu/~mmariani
1.
Introducción
En los últimos años ha surgido la necesidad de
estudiar ciertos fenómenos económicos y financieros a través de modelos
matemáticos más precisos que los que se venían aplicando. Esta fusión entre las
ciencias duras y la economía ha dado lugar al nacimiento de una nueva
disciplina llamada Econophysics [1].
En este espíritu surgió el interés por aplicar
un modelo puramente físico al estudio del comportamiento de la bolsa [2-6].
Diversos autores [7-8] han dispuesto de teorías de la
mecánica estadística, en particular las transiciones de fase y los fenómenos
críticos, para estudiar las burbujas especulativas que anteceden los grandes
crashes (fuertes caídas) bursátiles a fin de poder predecir en el futuro el
tiempo crítico o el tiempo más probable de un eventual crash.
Asimismo, a través de este modelo de fenómenos críticos se han estudiado
sistemas físicos tales como avalanchas, terremotos, fluidos turbulentos,
colapsos gravitacionales y ruptura de materiales [9-15].
Se ha encontrado que responden a un mismo fenómeno, en el sentido de que
aparecen parámetros “económicos” que se identifican con parámetros “físicos”. En
particular, se han podido detectar invariancia de escala y fenómenos de
intermitencia [16-18].
Son éstos sistemas colectivos en los cuales los distintos “agentes” se
auto-correlacionan para llegar a una transición de fase. Un ejemplo es la
magnetización espontánea en materiales como el níquel y el hierro.
El principal objetivo es estudiar el modelo
físico en distintos sistemas que sufren fenómenos de auto-correlación. El
modelo debe predecir el parámetro crítico concerniente al fenómeno que se
desencadena en cada uno de los distintos sistemas estudiados. En el caso del
sistema financiero, el parámetro es el tiempo más probable de ocurrencia de un crash; en el caso de un sistema de la
Naturaleza, sean dos ejemplos:
(i)
el tiempo más probable de ocurrencia de un terremoto de grandes
magnitudes, y
(ii)
el tiempo más probable de ruptura
de un tanque sometido a distintas presiones.
Cabe recalcar que el énfasis del estudio no es
la predicción en sí de estos parámetros críticos, sino la determinación del alcance de un modelo de
transiciones de fase (como la solidificación de gases, o la transición de
estado líquido a sólido, que han sido estudiados por la termodinámica clásica) en
estos distintos escenarios. Es decir, se trata de identificar el parámetro crítico y
formular un modelo capaz de describir el fenómeno observado.
2. Marco teórico y desarrollo del modelo para índices financieros
2.1. Glosario financiero y argumentos económicos
El desconocimiento lleva a referirse al mercado de valores (la bolsa)
como un instrumento o forma de enriquecerse semejante a un casino o cualquier
tipo de juego de azar. Sin lugar a duda, la importancia del mercado de valores
va mucho más allá de esta extrema simplificación. Hoy en día, para llevar a
cabo un negocio una empresa necesita de una variedad interminable de activos
reales. Éstos pueden ser tangibles (maquinaria,
oficinas, etc.) o intangibles (conocimientos,
marcas comerciales, patentes). No importa la naturaleza de los activos en
cuestión, en cualquier caso es necesario pagar por ellos. Para obtener el
dinero necesario para adquirir estos activos las empresas venden trozos de
papel llamados activos financieros o títulos. Estos tienen un valor real, ya que
representan derechos sobre los activos reales de la empresa. Son estos
“papeles” los que cotizan en bolsa, y se los conocen como acciones (stock shares). Hay muchas formas
posibles de transacciones: opciones, futuros, títulos, bonos, índices, etc. Por
simplicidad nos referiremos a la cotización de un tipo de activo financiero
llamado índice. Éste está compuesto por un conjunto de acciones de
distintas compañías. Las variaciones de un índice que cotiza en bolsa
representan los cambios de una hipotética cartera de acciones o conjunto
de acciones (portfolio). La capitalización total de mercado de una
acción de la cartera está dada por el peso de la acción dentro de la propia cartera.
Como ejemplo, podemos considerar tres índices distintos: índice Standard
and Poor 500 (S&P500), índice Dow Jones Industrial Average
(DJIA) e índice National Association of Securities Dealers Automated
Quotation System (Nasdaq). El primero está basado en una cartera compuesta por
500 acciones distintas: 400 industriales, 40 de empresas de servicios públicos,
20 de empresas de transporte y 40 de empresas financieras. El Dow Jones es uno
de los índices más usados mundialmente. Sus virtudes son varias, entre ellas el
tener más de 100 años de antigüedad y ser bastante manejable (comprende 30
acciones de distintas compañías, generalmente firmas muy grandes y
representativas). Por otro lado, la representatividad del propio índice es
cuestionable. Sin duda fue representativo en su tiempo, recién creado, ya que el
volumen de empresas que cotizaban en bolsa era mucho menor. Hoy en día se
considera al S&P500 como el indicador más representativo de las grandes
industrias.
Finalmente, el Nasdaq es un índice que se negocia electrónicamente. Fue
creado en 1971, y es el índice americano
con mayor tasa de crecimiento. Incluye muchas más compañías que las que cotizan
en el New York Stock Exchange y es responsable de más de la mitad de las operaciones
bursátiles que se llevan a cabo en los EEUU.
La principal diferencia con otros índices es que no existe un trading
floor o piso de negocios, donde los agentes de bolsa compran y venden
acciones. Este índice se basa exclusivamente en un sistema computerizado que
permite a distintos agentes en distintas partes del mundo negociar con este
indicador. Aunque al principio pocas compañías cotizaban en Nasdaq, en la última
década el número se ha incrementado enormemente. Principalmente, las que lo hacen son las líderes
tecnológicas: Microsoft, Intel, MCI,
Cisco Systems, Oracle, Sun Microsystems, pero también lo hacen grandes
compañías no tecnológicas, como SAFECO Insurance y Northwest Airlines.
Se mencionará el término agente
de bolsa (trader). En rigor los hay de distintos tipos, cada uno
especializado en el tipo de transacción que desarrolla. En este trabajo nos
referiremos a un trader simplemente como una persona, o representante de grupos de personas o instituciones financieras,
que ejercen la tarea de negociar con un activo financiero. O sea, ejercen
compras y ventas de acciones o índices bursátiles.
Con esta terminología definiremos entonces un crash como el desenlace
de un proceso
en el cual un gran número de traders deciden súbitamente poner las
acciones a la venta. El número de vendedores sobrepasa al número de compradores,
creándose un desequilibrio que resulta en la inmediata y drástica reducción del proceso en cuestión. Esto
se refleja en una súbita y brusca caída de algún indicador representativo de
la bolsa. Estas caídas catastróficas suelen ser de alrededor de un 30% o más de
la cotización del índice.
Diversos autores han escrito sobre los importantes crashes en
este siglo y sus posibles causas [19].
Es común en este tipo de literatura la búsqueda de algún factor externo
clave responsable del crash. Por ejemplo, entre el 14 de octubre de 1929
y el 13 de noviembre de 1929 el índice Dow Jones cayó más de un 40%, convirtiéndose esta en una de las más famosas, o la más famosa, caída del siglo.
En esos tiempos Europa se recuperaba del fin de la Primera Guerra Mundial, y EEUU se convertía en un gran acreedor. La producción industrial y el consumo
crecían enormemente. Según expresa A. Kostolany en su libro, el 22 de octubre había una oleada de grandes
ventas y creciente nerviosismo en Washington... el “boom” de la bolsa se hinchó con
la corriente de dinero afluyente y con los créditos, hasta convertirse en un enorme globo que podía explotar fácilmente si se le tocaba con la punta de un alfiler. Algunos trataron de explicar
la caída diciendo que se debía al aumento del tipo de descuento del Banco de
Inglaterra, otros alegan que el Banco de la Reserva Federal había elevado
varias veces el tipo de interés y que Wall Street seguía su camino
inadvertidamente... En fin, lo cierto es que no parece haber un claro indicador
responsable de este crash ni de ninguno. Incluso, en un exceso de
simplificación, el Wall Street Journal publicó al día siguiente: Se
trata tan solo de una reacción saludable y natural de la bolsa. Algunos papeles
y valores habían alcanzado unos precios excesivos y se hacía necesaria una
corrección.
Sin embargo todos los crashes estudiados presentan una
característica en común: el boom o la burbuja especulativa que los
precede. Vale la pena recordar la reciente caída del Nasdaq el 14 de abril del
2000, y con ella la caída de la llamada “nueva economía”. Aquí también se sobrevaloró
un sector, creándose una burbuja especulativa que se volvió muy inestable, y
que estalló sin haber aparentemente una causa específica.
El modelo financiero para explicar bruscos colapsos financieros basado
en la teoría física de fenómenos críticos [6]
se basa en la hipótesis de que los crashes ocurren por el lento incremento de
correlaciones de largo alcance que llevan al mercado de valores a un colapso en
un instante crítico. Recordemos la definición física de punto crítico como
la explosión a infinito de una cantidad (variable) normalmente bien comportada.
Estamos entonces en presencia de un mercado que a nivel microscópico se asemeja
a sistemas complejos tratados a través de la física estadística. En este punto es oportuno recordar el modelo de Ising. Este modelo considera una
configuración de N puntos fijos llamados puntos de la red, que forman una red
periódica N -dimensional. Asociada a cada nodo de la red hay una variable de
spin si, que puede tomar tan sólo
dos valores: +1 ó -1, up o down. En el sistema financiero que se considera, los agentes de bolsa se
asemejan a estos puntos fijos de una red que también tendrán una variable
asociada, con, en principio, 3 estados posibles: vender (+1), comprar (-1), o
esperar-no tomar ninguna decisión (0). Esta última no aporta nada, y
finalmente, en general, se trabaja con un sistema de 2 estados.
Para hablar de correlación o de sistemas de cooperación decimos que en
este sistema financiero los traders, por lo general, suelen tener
información sobre un grupo limitado de acciones de otros traders, y ven
la respuesta cooperativa del mercado como un todo. Este efecto se reflejará
como un incremento o una disminución en el valor de las acciones.
El fenómeno de autocorrelación es evidentemente semejante al del ferromagnetismo,
en el cual los puntos de la red “comparten” información localmente para
“ordenarse” y producir un efecto neto, la magnetización espontánea en ausencia
de algún campo externo. Del mismo modo que en este sistema físico los distintos puntos evidentemente no tienen registro el uno del otro, los
distintos agentes de bolsa que interactúan no tienen por qué conocerse.
Como se mencionara anteriormente, el crash sucede cuando se organizan
estos agentes en una misma orientación, vender. Es aquí cuando el sistema
entraría en una transición de fase. Al revés de lo que la intuición pareciera marcar, el crash no es un momento de desorden; por el contrario, es el momento
de mayor orden, todos venden al mismo tiempo. En esta interpretación debe
entenderse el mercado de valores como un sistema desordenado en el cual
conviven tantas apuestas de venta como de compra. (En rigor, históricamente son
mayores las ventas que las compras, razón por la cual si observamos la
evolución de todos los índices desde su creación hasta el tiempo presente la
media es siempre creciente).
El modelo busca expresar una coordinación a nivel macroscópico que surge
de un sistema de imitación de las autocorrelaciones a nivel microscópico. La
autocorrelación subyacente, en la cual los vecinos más cercanos de la red del
modelo de Ising se “imitan” para llegar a un efecto global macroscópico, será en
finanzas la tendencia natural de los traders de imitar a sus vecinos más
cercanos.
¿Por qué los vecinos de
la red deciden intercambiar información para orientar los spins en una misma
dirección por debajo de un cierto valor crítico (la temperatura de Curie en el
ferromagnetismo)? Esta pregunta se repite
en el modelo financiero de la siguiente forma: ¿Por qué se organizan distintos traders súbitamente para hacer una venta
coordinada que lleva a un crash?
2.2. Elaboración del modelo financiero
Este modelo para el comportamiento de un índice financiero durante un
crash ha sido desarrollado en las referencias [2-8].
Hipótesis utilizadas:
1.
Se considera un activo financiero (asset) puramente
especulativo que no paga dividendos.
2.
Se considera un mercado eficiente, es decir un mercado
donde no hay arbitraje.
3.
Si hay un crash, el precio del activo cae en un
porcentaje fijo.
Conviene brevemente explicar que significan las primeras dos hipótesis; la
última no requiere mayor explicación.
La primera quiere decir que el activo financiero en cuestión no paga una
tasa de retorno prefijada previamente, por lo que se trata de un activo
puramente especulativo.
Por mercado eficiente se entiende un mercado financiero donde toda la
información disponible se refleja en precios actuales de mercado; es decir, no
pueden existir arbitrajes en el sentido de que un sector se beneficie por la omisión de información o exceso de ésta. Es común referirse a esta hipótesis
también como condición de no arbitraje.
2.3. Desarrollo de un análisis comparativo del modelo y la
identificación de los correspondientes parámetros
En el modelo financiero microscópico se considera una red de agentes
designada por i=1,2...,I
. El modelo de Ising considera una matriz de N puntos fijos, llamados
puntos de la red, que forman una red periódica N-dimensional.
En el modelo financiero N(i) designa un grupo de agentes que
están directamente conectados al agente i. En el modelo de Ising
tenemos los estados denotados por una variable de spin si tal que si 
{+1,-1} ó {up, down}.
El modelo no asume interacciones de opiniones instantáneas entre
vecinos. En efecto, en los mercados reales las opiniones no suelen ser instantáneas, sino que se desarrollan en un tiempo que involucra cruce de información entre
los traders.
¿Cómo se representa en el modelo este sentido de conclusión a la que se llega
antes de tomar una determinación dada de compra o venta? Se dirá que la
decisión se toma cuando el trader
llegue a un consenso que determine un cierto “nivel de disparo”. Ésta
determina si todas las opiniones en suma son positivas o negativas. Según este
“consenso”, el resultado será vender o
comprar debido a la influencia de los primeros vecinos y a una influencia, como
se ha llamado, intrínseca.
3. Relación con modelos físicos
En mecánica estadística las cantidades macroscópicas, los observables
del sistema, se hallan mediante el empleo de las funciones termodinámicas. Así
se calcula, por ejemplo, la energía total del sistema, o el calor específico a
partir de la función de partición.
La susceptibilidad nos proporciona información sobre cuán susceptible es el
sistema a variaciones en alguna cantidad macroscópica, y mide cuán susceptible
es la magnetización del sistema por unidad de volumen a variaciones en el campo
externo.
El modelo de Ising predice una transición de fase aún en ausencia de
campo externo. A esta magnetización se la denomina magnetización espontánea,
puesto que ocurre sin necesidad de activar un campo externo y por un fenómeno
de autocorrelación de los nodos vecinos. Ésta se produce a una temperatura
crítica, llamada la temperatura de Curie. Por debajo de ésta el sistema tiene
una magnetización neta, y por encima de ésta no la tendrá.
La transición en finanzas será la de un sistema “desordenado”, en el cual
conviven órdenes de compra y de venta, a la de un sistema “ordenado”, en el cual
todo se organiza para una repentina venta.
Como se mencionara antes, los agentes del modelo pueden ser diferentes
entre sí: pueden ser personas, instituciones financieras, etc.
La teoría de fenómenos críticos se desarrolló originalmente para
explicar transiciones de fase en distintos metales. Con esta teoría se ha
podido entender la transición ferromagnética de algunos metales al llegar a la
temperatura de Curie.
En los últimos años su aplicabilidad ha sido extendida a otros sistemas.
Tal es el caso de fenómenos de ruptura de materiales, terremotos y avalanchas.
En el caso de los terremotos la aplicabilidad de este modelo es de vital
importancia, ya que el parámetro crítico a resolver para este sistema es el
tiempo más probable de ocurrencia de un terremoto. Dentro del marco de los
modelos críticos para terremotos se considera a un terremoto como la
culminación de una organización cooperativa de la tensión presente en la
corteza terrestre. Esta tensión puede medirse a través de emisiones acústicas,
como suele hacerse en modelos mecánicos de ruptura de materiales.
Sin embargo, puede utilizarse también algún indicador indirecto. Tal es el
caso para el terremoto de 7,2°M ocurrido el 17 de enero de 1995 en Kobe, Japón.
Los profesores Tsunogai y Wakita detectaron un crecimiento en las
concentraciones iónicas de Cl- y de SO4 [22] (entre otras) en agua extraída de
dos pozos cercanos al epicentro. Según estos autores, los resultados analíticos
demostraron que dichas concentraciones crecieron constantemente desde agosto
de 1994 hasta justo antes del terremoto... las muestras posteriores al terremoto
revelan concentraciones mucho mayores de estos iones... los cambios precursores
en la composición química pueden reflejar el estado de preparación de un gran
terremoto.
4. Algunos
resultados en la estimación del tiempo de ocurrencia de un crash
En esta sección
presentamos algunos resultados obtenidos con el modelo antes descrito en el
estudio de la estimación del tiempo de ocurrencia de un crash. Estos estudios
corresponden a:
Figura
1: El crash asiático de 1997, que tuvo repercusión mundial. En la figura
se muestra la evolución del índice bursátil MXX (Méjico).
Figura
2: El crash de 1987. En la figura se muestra la evolución del índice
bursátil S&P500 (EEUU).
En ambos casos, el
día en que ocurre el crash estimado por el modelo es una excelente aproximación
del día en que el crash ocurrió.
En ambas figuras, la
línea sólida en rojo representa el mejor ajuste a la función dada por el modelo
a partir de los datos experimentales, y la línea discontinua (en azul celeste) está
dada por los datos experimentales. Las líneas sólidas en amarillo representan las
curvas envolventes, que se utilizan para estimar la diferencia entre la curva
experimental y la obtenida ajustando la función dada por el modelo.
Figura 1. 21/10/97 es el día en que el crash ocurre, y
el día que el modelo predice es el 14/10/97.
Figura 2. 19/08/87
es el día en que el crash ocurre, y el día que el modelo predice es el 20/08/87.
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Mariani, D. Rial: Analysis of intermittence, scale invariance and
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[18] M.C. Mariani, Y. Liu: A
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[19] A. Kostolany: El fabuloso mundo del dinero y la bolsa. Sudamericana-Planeta, 2000.
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(7 de julio de 1995).
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Sobre la
autora
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María Cristina Mariani es licenciada en
Ciencias Matemáticas, licenciada en Ciencias Físicas y doctora en Ciencias
Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires. Ha
sido investigadora y profesora en la Universidad de Buenos Aires, la Comisión
de Energía Atómica y el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas
en Argentina; en Purdue University, Estados Unidos; y en la actualidad en New Mexico State University, Estados
Unidos. Ha dirigido numerosos proyectos de investigación financiados
por agencias de Estados Unidos, Europa y
Argentina. Es autora de más de ochenta artículos científicos de investigación en revistas
como Forum Mathematicum, Physica A, Nonlinear Analysis y Journal of Mathematical Analysis and Applications, en
temas de matemática pura y aplicada a la física y
las finanzas. Profesora visitante de las
siguientes universidades: Université Libre de Bruxelles; Université Catholique de Louvain; Courant Institute of Mathematical Sciences,
New York University; University of Texas at Austin; Universität Konstanz; Universidad de
Chile, Santiago; Technische Universität Berlin, ha dictado conferencias
invitadas en dichas instituciones y en otras de reconocido prestigio.
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