Recibido: miércoles, 06 abril 2005
La paradoja en la ciencia y el arte II
Paradojas visuales, de la teoría de la probabilidad y de la confirmación
Marta Macho Stadler
Departamento
de Matemáticas
Universidad
del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea
e-mail:
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página web: http://www.ehu.es/~mtwmastm
En la
revista Scientific American 217 (pág. 50-56, 1967), el biólogo y matemático ruso Anatol Rapoport (1911- ), experto en teoría de la
comunicación y de juegos, escribe en el artículo titulado Escape from paradox:
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Paradoxes have
played a dramatic part in intellectual history, often foreshadowing
revolutionary developments in science, mathematics, and logic. Whenever, in
any discipline, we discover a problem that cannot be solved within the
conceptual framework that supposedly should apply, we experience shock. The
shock may compel us to discard the old framework and adopt a new one. It is
to this process of intellectual molting that we owe the birth of many of the
major ideas in mathematics and science.
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En este texto se dan algunos ejemplos de cómo las
paradojas aparecen tanto en el ámbito de la ciencia como del arte. La lista no
es exhaustiva, es tan sólo una pequeña (y parcial) muestra, que pretende
estimular la curiosidad del lector.
El texto está organizado en once apartados, dedicado cada
uno de ellos a un tipo diferente de paradoja. Se incluye también una extensa
bibliografía (aunque no completa), y en cada una de las secciones indicadas se
dan diversos enlaces que pretenden poder continuar la lectura iniciada.
En esta sección:
1.
Paradojas visuales
2.
Paradojas de
la teoría de la probabilidad: la paradoja de San Petersburgo
3.
Paradojas de la confirmación: las paradojas de Hempel y Goodman
En Ciencia:
4.
Paradojas físicas: la paradoja de Fermi
5. Paradojas del
infinito: algunas paradojas de Zenón
6.
Paradojas lógicas: la paradoja de Russell
7.
Paradojas topológicas: la banda de Möbius y la botella de
Klein
En Sociedad:
8.
Paradojas de
la predicción: la paradoja del condenado
9.
Paradojas de la
vaguedad: paradojas tipo Sorites
10.
Paradojas semánticas: la paradoja del mentiroso
11. Paradojas
epigramáticas
1. Paradojas visuales
Las paradojas visuales pueden
deberse a diversas razones: imágenes engañosas, defectos de la visión humana,
etc. A continuación se dan algunos ejemplos.
1.1. Paradojas de la perspectiva
Las siguientes son paradojas de la
perspectiva: las líneas dibujadas provocan distorsiones en la percepción.
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Paradoja de la perspectiva
ascendente. ¿Son todos los soldados del mismo tamaño?
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Imagen de caja de tabaco, 1926. ¿Cuál de los dos boxeadores es más alto?
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El siguiente ejemplo se debe al
artista británico William Hogarth (1697-1764): el
cuadro se titula The Magpie on the
Gallows (1754) y contiene más de 20 errores de perspectiva; aquí se
destacan tan sólo dos de ellos.
Otras obras de William Hogarth pueden encontrarse en http://www.library.northwestern.edu/spec/hogarth y en The Hogarth
archive.
1.2. Desapariciones geométricas
1.2.1. La paradoja del huevo que desaparece es una variante lo que se
denominan desapariciones de línea:
realizando los cortes como se indica en la figura (uno horizontal y dos
verticales), se obtienen cuatro trozos que pueden redistribuirse para obtener
seis, siete, ocho, diez, once o doce huevos.
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Recombinación de 8 huevos
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Recombinación de 10 huevos
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1.2.2. Sam Loyd (1841-1911) es uno de los inventores de rompecabezas y
acertijos más famosos del mundo. El puzzle Abandone la tierra
aparece en su libro Cyclopedia of 5000 puzzles,
tricks and conundrums, with answers, Lamb. Pub. Co., 1914. En él transforma ingeniosamente una línea
recta en una circunferencia para obtener su paradoja.
Su dibujo no tiene más que dos trozos, pero crea una
serie de desapariciones y reapariciones impresionantes: se clava el círculo de
la izquierda por su centro sobre el círculo vacío de la derecha, y entonces...
...uno se puede entretener girando ese círculo... Si la
flecha apunta hacia el norte, aparecen 13 guerreros chinos, y si lo hace hacia el
noroeste ¡no quedan más que 12!
1.2.3. El
matemático y mago Paul Curry ha combinado las llamadas desapariciones de línea y superficie para realizar su divertida
paradoja del conejo.
El primer rectángulo de 6 por 13 encierra 78 casetas, cada una de las cuales
contiene la silueta de un conejo. Si se corta este rectángulo según las líneas
indicadas, una vez redispuesto como se muestra, se obtiene un nuevo rectángulo
con el mismo número de casetas... pero
¡sólo con 77 conejos!
¿Dónde ha quedado el conejo que falta?
1.3. Anamorfosis
Una anamorfosis
es una deformación reversible de una imagen a través de procedimientos matemáticos u ópticos, que se manifiesta cuando se mira de manera no convencional. Por ejemplo, en las anamorfosis oblicuas se construye una imagen proyectada sobre un plano oblicuo, de tal
manera que queda ininteligible o simula una imagen bien diferente si no se mira
desde el punto de vista excéntrico adoptado para la proyección. En una
anamorfosis catóptrica la imagen debe verse reflejada en un
espejo distorsionado; los ejemplos más típicos son los cilíndricos, cónicos y
piramidales. Algunos
ejemplos de anamorfosis cilíndricas del libro [McLoughlin Bros., The
Magic Mirror: An antique optical toy,
Dover, 1979] son:
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Un hombre gordo que lleva su
estómago sobre una carretilla.
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Sancho Panza y su burro. El
espejo cilíndrico se coloca sobre el círculo dibujado para recuperar la
imagen.
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A la derecha aparece la
anamorfosis cilíndrica La isla
misteriosa y el retrato de Julio Verne (1983) del diseñador gráfico
húngaro István Orosz
(1951- ). Julio Verne aparece al colocar el espejo cilíndrico en la posición
indicada.
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La siguiente obra de István Orosz
se titula Escalera de dimensión tres:
debajo aparecen tres imágenes de la obra vista desde diferentes ángulos. Los
dos primeros revelan una figura que camina sobre las escaleras, un tanto
distorsionada.
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Sólo la figura final resuelve la
anamorfosis.
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La
siguiente composición anamórfica se debe a Erhard Schön
(1491-1542). Se titula Vexierbild (1535),
y a primera vista aparecen lugares, costas, barcos y ciudades. Pero al analizar
la obra con más cuidado se descubre la composición anamórfica de Carlos V,
Fernando I, el Papa Pablo III y Francisco I.
En esta
época, los diseños de este tipo se utilizaban para esconder imágenes secretas, a veces de tipo
erótico, otras de naturaleza política, etc.
La siguiente obra se titula Los
embajadores (1533). Es la obra más célebre de Holbein el Joven (1497-1543). Representa a dos diplomáticos,
colocados delante de un tapiz. Entre los dos hombres, diversos objetos,
símbolos del poder (laico y eclesiástico) y del conocimiento científico
(relojes solares, un globo terráqueo, instrumentos de navegación y de
astronomía, libros...). La escena representada por el pintor está datada con
gran precisión: 11 de abril de 1533. Poco tiempo antes, Enrique VIII solicitaba
al papa Clemente VII anular su matrimonio con Catalina de Aragón, ya que de su
unión no había nacido ningún heredero varón. El papa no accede a este favor, lo
que no impide al monarca desposar en secreto a Ana Bolena el 25 de enero. A
principios de abril, el arzobispo de Canterbury, Thomas Cranmer, anula él mismo
el matrimonio anterior y declara a Ana Bolena reina de Inglaterra. El hecho no
tenía precedentes, y se envió una embajada francesa para intentar una
reconciliación con el papa. El cuadro de Holbein representa a los dos miembros
de esta embajada: Jean de Dintevile (1504-1555, a la izquierda, ropa corta,
poseedor del poder político) y Georges de Selve (1508-1541, a la derecha, ropa
larga, depositario del poder religioso).
En primer plano, en el centro, se observa un objeto
enigmático: se trata de un cráneo estirado, cuya forma no se aprecia delante
del espectador más que si éste adopta un cierto punto de vista con respecto al
cuadro. La técnica empleada por Holbein para producir este efecto es la de la anamorfosis oblicua. La imagen toma su
dimensión y libra su secreto cuando uno se coloca al lado del cuadro para
mirarlo oblicuamente: entonces se ve una calavera deformada proyectando una
sombra sobre el embaldosado del suelo.
Como
detalle curioso, el apellido Holbein significa hueso (Bein) hueco
(hohl).
Los
diseños anamórficos se utilizan también en la señalización de nuestras
carreteras. La razón es que los conductores ven las marcas sobre el asfalto
desde una posición inadecuada, con un aparente encogimiento de los objetos al
ir avanzando. En el ejemplo de debajo, el tamaño de la flecha parece el mismo
que el de la palabra CAR debajo de ella. Pero, visto de lado, se observa que la
flecha es más del doble de larga que la palabra: la señalización utiliza la
herramienta del estiramiento.
En
http://myweb.tiscali.co.uk/artofanamorphosis/software.html
se puede encontrar un programa para
crear anamorfosis: Anamorph
me! (version 0.2). Se trata de un software libre que lee imágenes en formatos estándar (JPEG,
BMP, etc.) y les aplica anamorfosis de diferentes tipos, para crear figuras
sorprendentes. Funciona sólo en Windows (95/98/NT/ME/2000/XP).
Algunos enlaces “para
saber más” sobre la anamorfosis son:
1.4. Figuras ambiguas
A continuación se dan varios
ejemplos de imágenes ambiguas.
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Roger
N. Shepard (1929- ), profesor de
psicología, y su ilusión de figura y fondo Sara Nader
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El artista suizo Sandro
Del Prete afirma: Todo lo que vemos puede verse de otra manera
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A continuación aparecen dos obras
del artista gráfico Maurits Cornelius Escher
(1898-1972),
de clara ambigüedad:
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El charco
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Manos dibujando
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El
artista Peter Brookes es el creador de esta figura con superposiciones: al
mirar de cerca se ve el ratón y de lejos aparece el gato...
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En esta caja de cerillas están
representados 12 elefantes, con sólo 6 cabezas (aparte del elefante central).
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Muchos carteles contienen figuras ambiguas, con
intenciones críticas o reivindicativas. Gillam creó esta portada del magazine
Judge 26 (1894): es un cartel
reivindicativo contra los aranceles. En la base del cartel se lee Death to our industries. That is what Cleveland-Wilson conspiracy means.
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1.5. Ambigramas
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Scott Kim es
un famoso creador de ambigramas, es
decir, letras, palabras o números que son ambiguos. Algunos de ellos son
imágenes reflejadas en un espejo, otras pueden leerse en sentido inverso,
otras poseen dos significados contenidos en la misma palabra, etc.
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1.6. Ilusión fotográfica
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La imagen contigua es una
ilusión fotográfica debida al artista Jerry Downs. ¿Hacia qué lado mira el
caballo?
Debajo se indican las dos posibilidades,
con el auxilio de una línea que ayuda a visualizar la dirección.
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1.7. Ilusiones ópticas
A continuación se dan algunas de
las ilusiones ópticas (debidas a problemas de
percepción del ojo y cerebro humanos) más conocidas.
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Ilusión de Titchener y Delboeuf. ¿Cuál de los dos círculos centrales es de
mayor tamaño?
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Ilusión del enrejado por contraste de colores.
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¿Son
paralelas las líneas que aparecen en las imágenes de debajo?
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Ilusión de las cuerdas del psicólogo
James Frazier: ¿son círculos o
espirales? El efecto desaparece cuando se oculta la mitad del dibujo.
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La figura central ¿es un
cuadrado?
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Esta ilusión óptica del psicólogo
Akiyoshi Kitaoka
se titula Serpientes rotando,... pero
es una imagen estática.
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La obra Catarata (1967) de Bridget
Riley (1931- ), representante del Op Art, parece moverse.
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Otros enlaces con este tipo de
ilusiones son Un mondo di illusioni ottiche y Unmögliche Konstructionen und andere
optische Illusionen.
1.8.
Figuras imposibles
Guido Moretti (1947- ) es
físico y escultor. En los dibujos que siguen se ven tres planos diferentes ¡de la misma
figura!
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Estas dos son figuras imposibles
del artista Jos de Mey
(1929- ).
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1.9. Figuras reversibles
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¿Es un
granjero inglés...
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...o su
asno?
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¿O ambos?
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El artista japonés Shigeo
Fukuda (1932- ) es un maestro de la ilusión y la ambigüedad: crea
esculturas que parecen un completo caos, y miradas desde otros ángulos, el
aparente desorden se transforma en perfección.
En su obra en madera Encore, de frente aparece un
pianista. Si se va girando la figura, en cierto punto aparece una combinación
extraña, y finalmente se aprecia al violinista.
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Peter
Newell (1862-1924) dibujó en 1883 este Caballero
y Elfo: un hombre sobre un caballo ataca
al pobre elfo... que finalmente consigue defenderse.
En el libro Topsys and turvys,
Peter Newell dibujó entre otros Hombre
saliendo del agua o... ahogándose.
Gustave Verbeck
(1867-1937) es el
creador de A fish story. A
continuación aparece parte de esta historia: El mayor de los pájaros la coge por su
vestido... justo cuando llega cerca de la isla, otro pez le ataca, golpeándole
furiosamente con su cola...
Gustave
Verbeck publicó una serie de comics reversibles en el Sunday New York Herald, a principios de 1900. La primera parte del
comic se lee de manera normal, y cuando se le gira 180 grados, la historia
continúa... Debajo aparece parte de Little lady Lovekins and Old
man Muffaroo: the Thrilling Adventure of the Dragon... faltaría girarla para ver aparecer la
otra historia escondida.
El artista Rex Whistler (1905-1944) realizó los siguientes dibujos para una campaña
publicitaria de Shell:
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¿Sherlock
Holmes o...
...Robin Hood?
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¿Sherezade o...
...el príncipe?
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1.10. Salvador Dalí
Salvador Dalí (1904-1989) es uno de los mayores
representantes del surrealismo. Debajo aparecen algunas de sus obras con
imágenes paradójicas:
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Boca misteriosa apareciendo en la espalda de mi nodriza
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Rostro de Mae West que puede usarse como apartamento surrealista
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Rostro
paranoico: la tarjeta postal transformada en Picasso. Dalí
encontró la postal de la derecha, y al mirarla verticalmente vio un rostro, que
en un primer impulso creyó realizado por Picasso. Cuando comprobó que era sólo
producto de su imaginación, reprodujo el efecto en su propia obra.
1.11. René Magritte
René
Magritte (1898-1967), fundador del
surrealismo belga, dijo que El arte de pintar
tiene como objetivo hacer que el funcionamiento de la mirada sea perfecto. Debajo aparecen dos de sus obras que
encierran paradojas.
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Carte blanche
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Los paseos de Euclides: ejemplo de fusión de figura y
fondo, donde además se asocia la cúpula cónica con la calle del fondo.
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The
librarian,
1566
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1.12. Giuseppe
Arcimboldo
Giuseppe
Arcimboldo (1527-1593) pertenece al movimiento artístico del manierismo. En
el siglo XX tiene una gran acogida, puesto que sus retratos parecen precursores
del surrealismo.
1.13. Octavio
Ocampo
Octavio
Ocampo (1943- ) es uno de los pintores mexicanos más conocidos. A continuación
aparecen dos de sus magníficas obras.
Mona Lisa: se trata de una silla ocupada por
tres conejos (uno negro abajo a la izquierda y dos blancos abajo en el centro).
Un gato está sentado sobre un cojín en el centro y mira al observador. La silla
tiene un respaldo que a primera vista parece la cara de la Mona Lisa, pero si
se inspecciona con más cuidado aparecen dos mujeres, un hombre, un ángel,...
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Las visiones del Quijote
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Dos
enlaces interesantes donde aparecen muchas de estas paradojas visuales son:
- Amazing Art: Illusions, hidden and
impossible images.
- Masters of Deception, página
web mantenida por A. Seckel, donde aparecen entrevistas, fotos y videos
relacionadas con su libro [Masters
of Deception: Escher, Dalí & the Artists of Optical Illusion, Sterling Publishing Co., 2004]. En
particular, aparecen imágenes de Sandro Del Prete, M.C. Escher, Shigeo Fukuda, Matheau Haemakers, Scott Kim, Guido Moretti, Vik Muniz, István Orosz, John Pugh, Oscar Reutersvärd y Dick Termes.
2. Paradojas de
la teoría de la probabilidad: la paradoja de San Petersburgo
Esta paradoja
trata sobre el cálculo de probabilidades y el concepto abstracto de esperanza
matemática. Se debe a Nicolás Bernoulli (1695-1726).
La pieza del dramaturgo inglés Tom Stoppard Rosencrantz y Guildenstern han muerto
(1966) se abre con una escena en donde los dos personajes secundarios de Hamlet juegan a cara y cruz: el desafortunado
Guildenstern ha lanzado 90 monedas, todas han salido cara y han regresado, como
lo manda el juego, a Rosencrantz. A pesar de la gran improbabilidad de una tal
serie, los dos saben que es posible. Cuando los protagonistas están cansados de
lanzar simplemente las monedas, Rosencrantz propone una variante: lanzará una
moneda hasta que salga cara: si esto sucede en la primera tirada, dará 1
moneda a Guildenstern, en la segunda tirada, 2 monedas, en la tercera, 4
monedas, y así sucesivamente, doblando la cantidad cada vez que la pieza cae
en cruz.
¿Cuánto dinero debería pagar
Guildenstern a Rosencrantz para que el juego sea equitativo?
El problema se resuelve fácilmente
en términos de la esperanza matemática de ganar: la probabilidad del evento cara aparece en la tirada n es
de
1/2n-1 (1/2) = 1/2n.
La esperanza
de ganar de Guildenstern es, pues, la
suma
1/2 + 2(1/2)2 +
4(1/2)3 + 8(1/2)4 +...+ 2n-1(1/2)n
+...=
1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 +...+ 1/2
+...= ∞
Así, en honor a la equidad,
el juego no debería tener lugar.
La progresión de ganadas es muy
rápida: es la serie geométrica de razón 2.
Se podría reemplazar el 2 por un
número inferior q y retomar
los cálculos: en este caso, la esperanza de ganada de Guildenstern sería
1/2 + q(1/2)2 + q2(1/2)3
+ q3(1/2)4 +
... + qn-1(1/2)n + ...=
1/2(1 + q/2 + (q/2)2
+...+ (q/2)n +...)= 1/(2 
q)
La ganada infinita de
Guildenstern aparece como caso límite cuando q tiende a 2.
Haciendo variar q, se puede
establecer la lista de ganadas de Guildenstern y el dinero que deberá ceder a
Rosencrantz al principio del juego. En todos los casos, y en ausencia de
cualquier otra condición, parece preferible renunciar a este juego tan azaroso,
tanto en el papel de Guildenstern como de
Rosencrantz.
3.
Paradojas de la confirmación: las paradojas de Hempel y Goodman
Carl Gustav Hempel (1905-1997),
filósofo de la ciencia e inventor de la paradoja del cuervo, afirma
que la existencia de una vaca de color violeta incrementa la
probabilidad de que los cuervos sean negros.
¿Por
qué?
Para responder, establezcamos la
ley
Todos los cuervos son negros,
de una manera diferente, pero
lógicamente equivalente:
Todos los objetos no-negros no son
cuervos.
Hempel dice: He encontrado un objeto no-negro: una vaca violeta. Por lo tanto, esto confirma
(débilmente) la ley Todos los
objetos no-negros no son cuervos. Y así, también confirma la ley
equivalente Todos los cuervos son negros.
Es fácil encontrar millones de
objetos no-negros que no son cuervos, confirmando así de manera más fuerte la
ley. El problema con la paradoja de
Hempel es que observando objetos no-negros se confirma la ley Todos
los cuervos son negros, pero sólo a un nivel infinitesimal:
la clase de objetos en la Tierra que no son cuervos es tan enormemente grande
comparada con las que son cuervos, que el grado con en el cual un no-cuervo que
es no negro confirma la hipótesis es despreciable...
Los detractores de Hempel opinan
que la existencia de una vaca de color
violeta confirma del mismo modo el enunciado Todos los cuervos son
blancos...
El filósofo americano Nelson Goodman (1906-1998) inventó la siguiente paradoja de la confirmación: se define un objeto como verul, si
observado antes del tiempo t
es verde, y después de t es azul. Si t = 1
de junio de 2025, Goodman (1906-1998) afirma que decir que las esmeraldas son verdes
o verules es igual de consistente... en ambas
afirmaciones hay tiempo por medio, y ambas se confirman empíricamente.
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Sobre la
autora
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Marta Macho
Stadler es Doctora en Matemáticas por
l’Université Claude Bernard de Lyon (Francia). Desde el año 1985 es profesora
en el Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco/Euskal
Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU). Su tema de investigación se centra en la teoría de
foliaciones. Ha impartido varias conferencias de divulgación en ciclos
celebrados en varias universidades del estado y es coorganizadora de Un paseo por la geometría en la UPV/EHU. Miembro de las Comisiones de Cooperación Internacional y de Mujeres y
Matemáticas de la RSME, es secretaria de la Comisión de Desarrollo y Cooperación del Comité Español de
Matemáticas, y pertenece a los Comités Editoriales de las revistas digitales Matematicalia e
IMAGEN-A.
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