Recibido: miércoles, 06 abril 2005
La paradoja en la ciencia y el arte I
Paradojas físicas, del infinito, lógicas y topológicas
Marta Macho Stadler
Departamento
de Matemáticas
Universidad
del País Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea
e-mail:
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página web: http://www.ehu.es/~mtwmastm
En la
revista Scientific American 217 (pág. 50-56, 1967), el biólogo y matemático ruso Anatol Rapoport (1911- ), experto en teoría de la
comunicación y de juegos, escribe en el artículo titulado Escape from paradox:
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Paradoxes have
played a dramatic part in intellectual history, often foreshadowing
revolutionary developments in science, mathematics, and logic. Whenever, in
any discipline, we discover a problem that cannot be solved within the
conceptual framework that supposedly should apply, we experience shock. The
shock may compel us to discard the old framework and adopt a new one. It is
to this process of intellectual molting that we owe the birth of many of the
major ideas in mathematics and science.
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En este texto se dan algunos ejemplos de cómo las
paradojas aparecen tanto en el ámbito de la ciencia como del arte. La lista no
es exhaustiva, es tan sólo una pequeña (y parcial) muestra, que pretende
estimular la curiosidad del lector.
El texto está organizado en once apartados, dedicado cada
uno de ellos a un tipo diferente de paradoja. Se incluye también una extensa
bibliografía (aunque no completa), y en cada una de las secciones indicadas se
dan diversos enlaces que pretenden poder continuar la lectura iniciada.
En esta sección:
1.
Paradojas físicas: la paradoja de Fermi
2. Paradojas del
infinito: algunas paradojas de Zenón
3.
Paradojas lógicas: la paradoja de Russell
4.
Paradojas topológicas: la banda de Möbius y la botella de
Klein
En Cultura:
5.
Paradojas visuales
6.
Paradojas de
la teoría de la probabilidad: la paradoja de San Petesburgo
7.
Paradojas de la confirmación: las paradojas de Hempel y Goodman
En Sociedad:
8.
Paradojas de
la predicción: la paradoja del condenado
9.
Paradojas de la
vaguedad: paradojas tipo Sorites
10.
Paradojas semánticas: la paradoja del mentiroso
11. Paradojas
epigramáticas
1. Paradojas físicas: la paradoja de Fermi
Si un
pequeño porcentaje de los billones de
estrellas en la galaxia fueran el hogar de civilizaciones con tecnología
avanzada, capaces de colonizar a distancias interestelares, la galaxia completa
estaría completamente invadida en
unos pocos millones de años. La ausencia de tales civilizaciones
extraterrestres visitando la tierra es la paradoja de Fermi.
¿Pero,
dónde están?
Existen
dos corrientes principales en la visión de la vida:
- la de los copernicanos, que afirman que la tierra es un planeta cualquiera alrededor de una estrella
cualquiera de la galaxia, la vida es un fenómeno corriente y lleva algún día a la aparición de civilizaciones con
tecnología;
- la de los geocentristas,
que proponen que el lugar del Hombre
es la conquista de una galaxia vacía
de civilizaciones.
Los
geocentristas se han equivocado tanto
a lo largo de la historia, que vamos optar por la primera de la opciones.
Existe una
fórmula
debida al astrónomo Frank Drake (1930- ) que permite estimar el número de
civilizaciones inteligentes con tecnología avanzada, susceptibles de estar
presentes en nuestra galaxia. Está basada en conocimientos que van desde la
astrofísica hasta la biología, y es el
producto:
N = E x P x F x V x I
x C x L,
donde:
- E
es el número de estrellas en nuestra galaxia: unas 400.000.000.000.
- P
es el número medio de planetas alrededor de las estrellas: valor
estimado entre 5 y 20. Los
científicos piensan que los planetas se forman corrientemente alrededor de las
estrellas, a pesar de las dificultades teóricas que se tienen aún para
modelizar estos procesos. Además, el número de exo-planetas no cesa de crecer
de año en año, por lo que los pequeños planetas aún no detectables serán
probablemente más numerosos.
- F
es el porcentaje de planetas favorables a la vida: valor
estimado entre el 20 y el 50%. Juega a favor el hecho de que el agua es
una molécula muy abundante y en contra el que la zona habitable en un sistema varía en función de numerosos
parámetros, no siempre muy estables.
- V
es la probabilidad de aparición de la vida: valor
estimado entre el 20 y el 50%. Los bioquímicos estiman
que la vida es un fenómeno muy común
una vez que las circunstancias son favorables, aunque muchas catástrofes pueden
matar una vida frágil y naciente.
- I
es la probabilidad de emergencia de seres inteligentes: valor
estimado entre el 20 y el 50%. A favor de esta cantidad está la evolución biológica y en contra
el factor tiempo.
- C
es la probabilidad de aparición de una civilización tecnológica con capacidad
de comunicación: valor estimado entre el 20 y
el 50%. La información
es sinónimo de desarrollo, pero ¿todas las civilizaciones experimentan la
necesidad de comunicarse con otros seres en el cosmos?
- L
es la duración de la vida de una civilización avanzada: valor
estimado entre 100 y 10.000.000 años. ¿Dispone una civilización de los medios tecnológicos necesarios
para un contacto extraterrestre durante un breve instante antes de
autodestruirse?
Por
ejemplo, usando esta fórmula, el número de civilizaciones con 400.000.000.000
estrellas, 10 planetas alrededor de cada estrella, 50% de planetas favorables a
la vida, 50% de probabilidad de vida, 50% de probabilidad de vida inteligente,
50% de probabilidad de civilización técnica y 10.000.000 años de duración de
una civilización sería de 250.000.000.000.
El factor
preponderante en la ecuación de
Drake es el tiempo; es decir, la fórmula
tiene una gran dependencia del factor L, que impone que:
- si las civilizaciones tecnológicas
viven un breve instante de tiempo antes de autodestruirse, entonces el
número de civilizaciones en el universo es cercano a... 1;
- al contrario, si la duración de la
vida de estas civilizaciones se cuenta en millones de años, entonces el
universo debería estar invadido por
mensajes de radio.
Para L = 10.000 años (¿modelo
terrestre?) existirían según esta fórmula unas 10.000
civilizaciones, y si estuvieran repartidas de manera aleatoria por las
estrellas de la galaxia, la más cercana a nosotros estaría a 1.000 años-luz.
Nuestras emisiones de radio comenzaron hace unos 50 años, por lo que aún
estaríamos a muchos años de ser
encontrados (y estudiados).
¿Estamos
solos? No... estamos muy lejos.
2. Paradojas del infinito: algunas paradojas de Zenón
Desde sus
orígenes, la matemática ha chocado con el infinito como un problema crucial.
La escuela
eleática de filósofos fue fundada por el pensador, filósofo y poeta Xenófanes
(nacido en 570 AC) y su principal enseñanza era que el universo es singular,
eterno e incambiable: El todo es uno. De acuerdo con esta idea, las apariencias de
multiplicidad, cambio, y moción son meras ilusiones.
Las
paradojas de Zenón son el foco en la relación de lo discreto con lo continuo.
Ninguno de sus escritos ha sobrevivido; se conocen sus ideas a través de los
trabajos de Platón, Aristóteles, Simplicio y Proclus. De los aproximadamente 40
argumentos atribuidos a Zenón, destacamos dos relacionados con la moción: Aquiles
y la tortuga y La flecha.
2.1. Aquiles y la tortuga (Aristóteles,
Physics 239b, 15-18)
Se arregla
una carrera entre Aquiles y la tortuga. Como Aquiles es mucho
más veloz que la tortuga, el héroe permite una cierta ventaja al lentísimo animal. La paradoja
que surge es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga,
independientemente de lo rápido que corra y de lo larga que sea la carrera: en
efecto, cada vez que el perseguidor alcanza un lugar donde ha estado la
perseguida, la tortuga se adelanta un poco...
Algo debe
ser falso en este argumento... la paradoja aparece debido a la noción equivocada de
que cualquier sucesión infinita de intervalos de tiempo debe sumar toda la
eternidad. La solución pasa por la convergencia de la serie
1/2 + 1/4 + 1/8 +...+ 1/2n +... = 1.
2.2. La flecha (Aristóteles,
Physics 239b, 5-7)
Supongamos
un argumento de Zenón del tipo:
- un intervalo de tiempo se compone
de instantes (que son la menor medida e
indivisibles),
- en cada instante, una flecha no se
mueve.
Si se
observa el trayecto de una flecha en un período de tiempo infinitamente corto,
el movimiento correspondiente a cada observación es nulo. La suma de todos
estos ceros da aún cero, por lo tanto ¡la flecha ha
estado siempre inmóvil!
La
solución consiste en aceptar que la flecha está en reposo en cada instante,
pero rechazar que esto implique que la flecha no se mueve: lo que se requiere
para que la flecha se mueva, es que esté en diferentes sitios en momentos
cercanos. Un instante no es suficientemente grande para que tenga lugar el
movimiento: este último es una relación entre objetos, lugares y varios instantes. Esta paradoja es un ejemplo de una conclusión
inaceptable (nada se mueve) a partir de una
premisa aceptable (ningún movimiento ocurre durante un instante),
por un razonamiento inaceptable (estar en reposo
significa que la flecha está en el mismo lugar en instantes cercanos).
3. Paradojas lógicas: la paradoja de Russell
Dos
conjuntos infinitos son equipotentes (tienen
el mismo número cardinal), si existe una biyección del uno sobre el otro. El
cardinal de un conjunto infinito es
la extensión al caso de los conjuntos infinitos del concepto de número, y la
equipotencia es la extensión de la noción
de igualdad. No todos los conjuntos infinitos son de igual tamaño, como afirma el siguiente
resultado:
Teorema de Cantor: Dado un conjunto C, existe otro de mayor
cardinalidad, 
(C)
(el conjunto de sus partes).
Bertrand
Russell (1872-1970), Premio Nobel de Literatura en 1930 y Medalla Fields en 1966,
descubre una contradicción al considerar el teorema de Cantor:
el
conjunto de todas las cosas U debe tener mayor cardinal que cualquier otro,
porque todo elemento de un conjunto (y todo conjunto) es una cosa. Así, (U)
debe de estar contenido en U, en cuyo caso
card((U))
≤ card(U) < card((U))
,
y así el resultado cantoriano debía ser
erróneo.
Existía en
aquella época un postulado (surgido de la lógica tradicional aristotélica) que
se venía implícitamente tomando como base para la teoría de conjuntos, llamado principio de comprensión, que afirma que dada una
propiedad P, existe siempre un
conjunto {x: P(x)} que la cumple. Lo que hace Russell es refutarlo, tomando
como proposición
P(x) = (x x),
y
deduciendo una contradicción: así, se invalida la llamada teoría ingenua de conjuntos.
Algunas
propuestas de solución de esta paradoja han sido:
- la complicada y filosófica teoría de tipos de Russell que afirma que
deben arreglarse todas las sentencias en una jerarquía: es entonces posible
referirse a todos los objetos para los que un determinado predicado es cierto
sólo si están ambos en el mismo nivel o son del mismo tipo. Así, una expresión
de la forma (x x)
no se considera como válida;
- la elegante axiomatización
de la teoría de conjuntos de
Ernst Zermelo, que elimina el principio de comprensión e incluye de manera
destacada el llamado axioma de elección:
se admiten en la teoría sólo aquellas clases de las que no pueden derivarse
contradicciones. Su sistema de axiomas contenía conceptos y relaciones
fundamentales que estaban definidas implícitamente por las afirmaciones de los
axiomas mismos. La fundamentación de la teoría de conjuntos de Zermelo fue
mejorada por Abraham Fraenkel y Von Neumann introdujo cambios adicionales.
4. Paradojas topológicas: la banda de Möbius y la botella de Klein
4.1. La banda de Möbius
La banda de Möbius se
obtiene al identificar dos de los lados opuestos de un cuadrado, girando
previamente uno de ellos, como se muestra en el dibujo de Tim Hunkin.
Es una superficie (variedad de
dimensión dos) con una única cara, un solo borde y no orientable. Estos
hechos son ya paradójicos al fijarse en un cilindro, obtenido al identificar
dos de los lados opuestos de un cuadrado: es una superficie con dos
caras, dos bordes y orientable.
Se pueden realizar algunas
experiencias con la banda de Möbius que dan resultados paradójicos:
- si
se corta la banda por su mitad, como muestra la figura de arriba, aparece una
cinta el doble de larga, que contiene cuatro semivueltas, dos caras y dos bordes,
luego no es una banda de Möbius, sino un cilindro;
- si se corta la banda de Möbius a la altura 1/3, se obtiene otra banda de Möbius (igual de larga y 1/3 de ancha) y un cilindro (el doble de largo y 1/3 de ancho) enlazados: la altura 1/2 es la única especial.
La banda de
Möbius ha inspirado a artistas y científicos, como muestran los ejemplos que
siguen.
Una variante de la banda de Möbius es este juego de niños
diseñado por Gerald Harnett: el
Möbius
Climber Lands consiste en 64 triángulos enlazados y montados de
manera que, en cada punto, se observa la estructura torcida. Está situado en el
Sugar Sand Science Playground, parque de la ciencia situado en Boca Ratón
(Florida), y fue creado con ayuda del programa Mathematica.
4.2. La botella de Klein
La botella de Klein es una
superficie obtenida al identificar los lados de un cuadrado como muestra la
figura:
Esta figura no
puede construirse en el espacio de dimensión tres sin autointersecarse, pero sí
que está contenida en el espacio de dimensión cuatro.
La botella de Klein presenta
varias propiedades paradójicas: posee un solo lado (no tiene cara
interior ni cara exterior) y no tiene borde: de hecho, puede
obtenerse esta superficie a partir de dos bandas de Möbius, y por ello hereda
sus extrañas
propiedades.
La botella
de Klein ha servido de modelo para muchas construcciones extraordinarias, como
muestran las imágenes que aparecen a continuación.
Debajo
aparecen algunas botellas de Klein de Cliff Stoll de la Acme Klein Bottle.
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Sobre la
autora
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Marta Macho
Stadler es Doctora en Matemáticas por
l’Université Claude Bernard de Lyon (Francia). Desde el año 1985 es profesora
en el Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco/Euskal
Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU). Su tema de investigación se centra en la teoría de
foliaciones. Ha impartido varias conferencias de divulgación en ciclos
celebrados en varias universidades del estado y es coorganizadora de Un paseo por la geometría en la UPV/EHU. Miembro de las Comisiones de Cooperación Internacional y de Mujeres y
Matemáticas de la RSME, es secretaria de la Comisión de Desarrollo y Cooperación del Comité Español de
Matemáticas, y pertenece a los Comités Editoriales de las revistas digitales Matematicalia e
IMAGEN-A.
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