Recibido: miércoles, 14 abril 2006
¿Qué
pasaría si...
...intentáramos
trazar el dibujo de la Figura 1:
Figura 1.
sin
levantar el lápiz del papel y sin repetir ninguna línea? ¿Podríamos hacerlo?
[La
solución, en el próximo número]
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Solución al problema anterior
...rodeáramos a la tierra con una cinta formando un círculo
concéntrico con el ecuador pero un metro más largo? ¿Cuál sería la separación
entre el ecuador y la cinta? Si en cambio rodeáramos de la misma manera a una
guinda, ¿cuál sería la separación?
Respuesta: En ambos casos la separación sería de
unos quince centímetros. Es sorprendente, ¿verdad? Veamos los cálculos, por
cierto muy sencillos, que justifican esta respuesta.
Vamos a suponer que tanto la Tierra como la guinda son
una esfera perfecta de radio 
medido en metros, y que la cinta es una
circunferencia de radio ,
también medido en metros. Si miramos a la esfera desde encima del polo norte,
veremos al ecuador y a la cinta, como muestra la Figura 2.
La longitud del ecuador es metros. Esto significa que la longitud de la
circunferencia de radio debe verificar la ecuación O sea
de donde la diferencia resulta ser el número ,
o alrededor de quince centímetros, independientemente de si estamos considerando
una esfera enorme como la Tierra o una pequeñita como la guinda.
Sea como fuere, este resultado es en verdad
sorprendente. ¿Por qué es que nuestra intuición se rebela? Quizá sea porque el
dibujo que hemos hecho no se ajusta a la realidad en ninguno de los dos casos,
bastante extremos, que estamos considerando. En el caso de la Tierra, si
tenemos en cuenta que el radio es aproximadamente millones de metros, la separación entre la Tierra
y la cinta resulta ser del radio de la Tierra. En cambio, si pensamos
que la guinda es una esfera de un centímetro de radio, la separación será del radio de la guinda.
De los cálculos que hemos hecho resulta que
cualquiera sea la cantidad en que alarguemos el ecuador, la separación no
dependerá del tamaño de la esfera, aunque por supuesto dependerá de cuánto
hemos agregado.
La manera en que hemos llegado a esta respuesta
puede parecer muy teórica. Otra manera más natural pudiera ser el considerar
cada caso por separado, usando los números apropiados. Si hacemos esto con la
guinda, obtenemos sin dificultad que la separación debe ser de casi centímetros, lo cual concuerda con la
respuesta que ya sabemos. En el caso de la Tierra nos aparece una complicación
interesante: sabiendo que la longitud del ecuador es de unos metros, tenemos que encontrar el radio de una
circunferencia con longitud metros. La calculadora nos dirá que ese radio
es igual a metros, o sea metros. Pero la misma calculadora nos dirá
también que el radio del ecuador es de ¡ metros! ¿Qué ha pasado? La diferencia de un
metro entre la longitud de las dos enormes circunferencias se pierde en los
redondeos internos de la calculadora. Las operaciones con letras producen en
cambio respuestas muy “limpias”, sin las complicaciones numéricas que acabamos
de notar.
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Sobre la autora
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Josefina
(Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New Mexico State
University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional, se doctoró
en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina), bajo la
dirección de A.P. Calderón. Ha ocupado diversos puestos y cargos académicos
en la Universidad de Buenos Aires y en las estadounidenses de Princeton,
Chicago, Florida Atlantic University y New Mexico. Ha sido investigadora del
CONICET (Argentina). Miembro de la Unión Matemática Argentina, Mathematical
Association of America y American Mathematical Society, formó parte del Committee on Committees de esta última entre 1999 y 2002. Ha
dictado numerosas conferencias en congresos y sesiones especiales e impartido
seminarios en Alemania, Argentina, Bélgica, Brasil, Canadá, Colombia, España,
Estados Unidos, México, Perú, Polonia, Suecia y Venezuela. Ha pertenecido y
en varias ocasiones presidido los comités organizadores de distintos
congresos y minisimposia. Ha ejercido como evaluadora para prestigiosas
revistas especializadas. Desde 2002 es Editora Asociada del
Rocky Mountain Journal of Mathematics.
Autora
o coautora de numerosos artículos científicos y varias monografías en
análisis armónico y funcional y directora de dos tesis doctorales, ha desarrollado
asimismo una intensa actividad en el campo de la educación matemática,
habiendo recibido
diversos galardones a la excelencia docente.
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