Recibido: miércoles, 20 julio 2005; aceptado: miércoles, 02 noviembre 2005

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Teoría Especial de la Relatividad:

La Relatividad en clase de matemáticas

 

Rafael Moreno Fernández

Departamento de Matemáticas

IES Gádor (Gádor, Almería)

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1. Introducción: Un poco de historia

 

Las leyes establecidas por Isaac Newton hacia 1680-89 aseguraban que dos o más movimientos se suman de acuerdo con las reglas de la aritmética elemental. Supongamos que un tren pasa a nuestro lado a 30 km/h y que un niño tira desde el tren una pelota a 20 km/h en la dirección del movimiento del tren. Para el niño, que se mueve junto con el tren, la pelota se mueve a 20 km/h. Pero para nosotros, el movimiento del tren y el de la pelota se suman, de modo que la pelota se moverá a la velocidad de 50 km/h.

 

Como veis, no se puede hablar de la velocidad de la pelota a secas. Lo que cuenta es su velocidad con respecto a un observador particular.

La teoría de la relatividad de Einstein nació del siguiente hecho: lo que funciona para pelotas tiradas desde un tren no funciona para la luz. Medidas muy cuidadosas demostraron que la velocidad de la luz nunca variaba, fuese cual fuese la naturaleza del movimiento de la fuente que emitía la luz. Esto, que en principio podría parecer un resultado sin mayor relevancia, revolucionó nuestra visión del mundo, ya que entre sus consecuencias tenemos:

 

• Los objetos tenían que acortarse en la dirección del movimiento, tanto más cuanto mayor fuese su velocidad, hasta llegar finalmente a una longitud nula en el límite de la velocidad de la luz.
• La masa de los objetos en movimiento tenía que aumentar con la velocidad, hasta hacerse infinita en el límite de la velocidad de la luz.
• El paso del tiempo en un objeto en movimiento era cada vez más lento a medida que aumentaba la velocidad, hasta llegar a pararse en dicho límite.
• La masa era equivalente a una cierta cantidad de energía y viceversa.

 

Estos resultados son los que vamos a desarrollar a continuación.

 

 

2. La velocidad de la luz es constante

 

Newton realizó observaciones sobre la naturaleza de la luz, alegando que estaba compuesta de partículas (corpúsculos) y rechazando la idea de que estuviera compuesta de ondas, ya que las ondas necesitan un medio por el cual desplazarse (por ejemplo, el sonido se desplaza por el aire, o cuando tiramos una piedra al agua se ve que se generan ondas en el agua justo en el lugar donde cae), mientras que la luz se desplaza por el vacío del espacio.

 

Pero la ciencia fue avanzando, y los instrumentos de medición fueron mejorando. Los datos obtenidos por los científicos demostraban que la luz se comportaba como una onda; pero si esto ocurría, entonces debería haber una “cosa” no detectada hasta el momento, que cubre todo el Universo, por la cual se desplaza la luz. A esta cosa indetectable hasta entonces se la denominó éter lumínico. La Tierra y todos los objetos, incluyendo la luz, se deberían desplazar a través del éter.

 

 

Grande fue la sorpresa de este señor cuando no descubrió ninguna diferencia en los tiempos de recorrido de la luz: la velocidad de la luz era constante, se midiera como se la midiera.

 

Esto significaba una cosa: la luz se movía a una velocidad constante... ¿pero con respecto a qué? Según la teoría de Newton, si yo voy corriendo a 20 km/h, la velocidad de la luz que yo emito sería 20 km/h mayor que la de la luz que emitiría si estoy quieto. Pero no, la luz parecía tener siempre la velocidad de 299.792,458 km/s, independientemente de la velocidad de la Tierra.

 

3. Dilatación del tiempo

 

Las ecuaciones de Lorentz relacionan  la posición y el tiempo de ocurrencia de un fenómeno respecto a dos sistemas de referencia distintos, uno “fijo” y otro que se mueve respecto al primero a una velocidad constante V. Pensemos, por ejemplo, en el movimiento de un tren que circula a 20 km/h respecto a una estación de tren concreta. Luego volveremos sobre esto.

 

Estas ecuaciones tienen un complicado desarrollo matemático que no ha lugar tratar aquí. Establece que el tiempo transcurrido en el sistema que se mueve viene dado por la ecuación:

 

 

Por lo tanto, el tiempo medido en el segundo sistema es mayor que el medido en el primero. Qué tan mayor depende de la velocidad V; si V es muy pequeña con respecto a la velocidad de la luz c, entonces la diferencia entre t y t' es prácticamente imperceptible (por ejemplo, si V=10.000 kilómetros por hora, t y t' apenas difieren en una parte en cien mil millones); en el otro extremo, si V es cercano a la velocidad de la luz, entonces t' es mucho mayor que t (por ejemplo, si V es 0,997 veces la velocidad de la luz, t' es 13 veces mayor que t).

 

Lo veremos más claro en un ejemplo. Consideremos un jefe de estación que observa el paso de un tren a velocidad constante. Se trata de un tren de mercancías que lleva en uno de sus vagones el siguiente artilugio.

 

Si el jefe de estación y el revisor del tren midieran el tiempo que tarda en producirse un ciclo completo, tendríamos que:

• para el revisor del tren, el fotón en el tren va desde A hasta B;

• para el jefe de estación, el fotón en el tren va desde A hasta B′

La razón por la que no percibimos variaciones de tiempo en nuestra experiencia diaria es que estamos acostumbrados a movernos a velocidades extremadamente pequeñas con respecto a la velocidad de la luz. Si la velocidad de la luz fuera muchísimo menor de lo que es, estaríamos acostumbrados a variaciones del tiempo, y no hubiera sido necesario un Einstein para convencernos de que el tiempo es relativo a quien lo mide.

Pero entonces, ¿es imposible determinar en forma única la duración de un fenómeno?, ¿nos condena la relatividad a perder el concepto del tiempo? Nada de eso. El tiempo que marca un reloj es un concepto perfectamente bien definido. De acuerdo con la Teoría de la Relatividad, el tiempo de ese reloj no coincide con el que marca otro reloj que se mueve con respecto al primero, pero la relación entre los dos tiempos se puede determinar perfectamente.

La situación anterior, en la que a los dos observadores les parece que el reloj del otro se atrasa, nos sorprende, pero parece que podemos aceptarla si los observadores se separan indefinidamente con velocidad constante. Sin embargo, ¿qué sucede si los dos observadores se ponen en contacto en un momento posterior y comparan sus relojes de pulsera? ¿A quién se le habrá retrasado el reloj?  Este problema suele enunciarse como problema o paradoja de los gemelos.

En este caso, uno de los gemelos va a ser acelerado hasta velocidades cercanas a la luz, va a dar una vuelta por el espacio y va a regresar de nuevo a la Tierra. Mientras esto pasa, a ambos les parecerá que el tiempo transcurre más lento para el otro gemelo, pero ¿qué pasará cuando se vuelvan a encontrar?

Si tuvieras un hermano gemelo y te despidieses de él para viajar por el espacio a velocidades cercanas a la de la luz, cuando regresaras a la Tierra tu hermano sería más viejo que tú... [Animación 4]

 

En realidad, no hay tal paradoja. La “relatividad” de la dilatación temporal sólo existe entre observadores inerciales, que son aquellos que se mueven siempre a velocidad constante (inercial). En este caso, el gemelo de la nave ha sufrido aceleraciones y, por tanto, no era inercial. La Teoría Especial de la Relatividad da una respuesta inequívoca a la aparente paradoja: el hermano gemelo que baja de la nave será más joven que el que ha permanecido en la Tierra.

Animación  4. [Cortesía de Cosmoeduca. Imágenes: Inés Bonet (IAC)].

4. Máquinas del tiempo 

 

Una nave que nos permitiese viajar al futuro de la Tierra sin apenas envejecer podría ser considerada una “máquina del tiempo”. Su construcción está fuera de las posibilidades técnicas de nuestra civilización. Sin embargo, hay ejemplos que demuestran que la idea es correcta.

 

En la Tierra recibimos partículas que se generan en las capas altas de la atmósfera. Estas partículas, llamadas muones, recorren 9.500 m a una velocidad de 0,998c, con lo que desde nuestro punto de vista el tiempo que tardan en llegar es de 31,6 microsegundos. Sin embargo, sabemos que cuando los muones están en reposo viven alrededor de 2 microsegundos. ¿Cómo han conseguido sobrevivir a un viaje que dura 15 veces su vida? Esta paradoja se puede explicar haciendo uso de la dilatación temporal: las partículas han sido aceleradas a velocidades tan cercanas a la de la luz, que mientras en la Tierra han transcurrido 31,6 microsegundos ellas sólo han envejecido 2 microsegundos.

 

Para los “muones viajeros”, las capas altas de la atmósfera están mucho más cerca de la superficie terrestre que para nosotros. Desde nuestro punto de vista, el muón ha recorrido 9.500 m. Desde el punto de vista del muón viajero, la Tierra está a sólo 600 m.

 

Esto es debido a que a un observador a gran velocidad le parece que las distancias que recorre se acortan.

 

5. Energía y masa

 

Además de la contracción del tiempo y del espacio, la Teoría de la Relatividad predice un efecto que en un principio parecía un resultado puramente formal, pero que algunos años más tarde modificó fundamentalmente el curso de la historia. Einstein se dio cuenta de que la masa y la energía de un cuerpo aparecen siempre unidas de una manera muy conspicua en las ecuaciones de su teoría. Esto le condujo a afirmar que existe una equivalencia entre la masa y la energía, expresada por la fórmula:

E = mc²,

siendo E  la energía de un cuerpo, m su masa y c² la velocidad de la luz elevada al cuadrado.

Nótese que lo que estamos afirmando es que es lo mismo la materia de la que está hecha una silla y lo que hace falta para moverla. Increíble, ¿no?...  

La fórmula de Einstein E = mc² afirma que un solo kilogramo de materia equivale aproximadamente a toda la energía que se consume en la Tierra en una hora. Obviamente, surge la pregunta de si se puede extraer, en la práctica, la enorme energía almacenada en la materia. Al principio Einstein y los demás físicos pensaban que eso era sólo una ilusión; pero encontraron la energía prometida en el átomo.

En las décadas transcurridas desde que Einstein dio a conocer su ecuación en 1905, los físicos habían mostrado cómo desintegrar el átomo. Habían encontrado su núcleo y una partícula llamada neutrón que podía introducirse fácilmente en éste, y habían comprobado que cuando se incorporan neutrones adicionales a átomos sobrecargados como los del uranio, su núcleo se hacía inestable y acababa dividiéndose en pedazos. Además, si se computaban los pesos antes y después, se comprobaba que los fragmentos separados pesaban menos que cuando estaban juntos en el núcleo original, liberándose gran cantidad de energía. La masa que faltaba se había convertido en energía, como prometía la ecuación E = mc². Para hacernos una idea de la energía liberada, nótese que c² equivale en km/h a 90.000.000.000.000.000. Esta fue la base para el desarrollo de la bomba atómica que finalmente fue lanzada sobre Hiroshima y Nagasaki en 1945.

De análoga forma se explican los fuegos del Sol, pero esta vez a través del hidrógeno. Se produce helio a partir de cuatro átomos de hidrógeno. La masa de cuatro núcleos de hidrógeno se puede escribir como 1+1+1+1. Pero la de un núcleo de helio no llega a 4: es, aproximadamente,  3,97. Ese 0,7% aparece en forma de rugiente energía.

 

Parece algo insignificante, pero el Sol es muchos miles de veces mayor que la Tierra. Además, transforma en energía cuatro millones de toneladas de hidrógeno por segundo, que estrujadas por la ecuación de Einstein pasan del lado de la masa al de la energía multiplicada por el enorme número c². Pensemos que sólo unos gramos de uranio destruyeron por completo las dos ciudades japonesas.

 

Los aceleradores generan haces de partículas subatómicas que se desplazan casi a la velocidad de la luz y se estrellan contra los átomos de la materia que se desea bombardear. La trayectoria de las partículas atómicas que libera la colisión puede fotografiarse, y proporciona importantes datos sobre la estructura y propiedades de las partículas que han colisionado. Pues bien, cuando las partículas subatómicas se encuentran a velocidades próximas a la de la luz se observa que su masa va aumentando hasta hacerse infinita.

Se constata día a día la imposibilidad de acelerar una partícula para que sobrepase la velocidad de la luz. Podemos incrementar la velocidad de una partícula, pero al hacerlo incrementamos su masa, con lo que cada vez nos costará más incrementar su velocidad y llegaríamos a necesitar una cantidad infinita de energía para alcanzar la velocidad de la luz.

Cuando se lleva a una partícula hasta el 90% de la velocidad de la luz, su masa se dobla. Al 99,9%, su masa se hace 22 veces la masa original, pero cerca de la velocidad de la luz su masa se hace infinita.

6. ¿Qué ocurriría si la velocidad de la luz fuera muchísimo menor? ¿Cómo sería nuestro Universo?

Si reduciésemos la velocidad de la luz a tan sólo 50 km/h y entrásemos en ese mundo observaríamos cosas sorprendentes.

Los automóviles mantendrían su peso ordinario mientras esperaran pacientemente ante un semáforo, pero una vez se encendiera la luz verde, su masa crecería al ir acelerando. Lo mismo les ocurriría a los peatones, a los ciclistas y a todo lo que se moviera. Una niña que pesara 45 kilos mientras espera en una esquina con su bicicleta, alcanzaría los 90 kilos cuando su velocidad fuera de 32 km/h. Si fuera más deprisa, quizás bajando una cuesta y alcanzando una velocidad de 49 km/h, su masa superaría una tonelada, y su bicicleta habría aumentado otro tanto. Tan  pronto como dejara de pedalear, todo recuperaría su peso y tamaño originales.

Dependiendo de la posición del observador, un automóvil de cuatro metros se distorsionaría y parecería medir sólo un metro si se desplazara lo bastante rápido hacia nosotros. Si su velocidad fuera de 49,99 km/h, su longitud no sería mayor que el espesor de una hoja de papel. El conductor y los pasajeros también se habrían contraído en la misma proporción, y en cuanto el automóvil se detuviera se alargarían como un acordeón, recuperando su tamaño normal.

Al acelerar los automóviles percibiríamos, además, que el tiempo pasa más despacio para ellos. Si el conductor pone en marcha el reproductor de música, veríamos su mano moverse muy lentamente. Además, el sonido nos llegaría con una dolorosa lentitud, pareciendo cantos fúnebres. Pero para el conductor y los pasajeros del automóvil todo es normal y nada ha sufrido ninguna transformación. No tendrían ninguna sensación de estar cambiando Son los transeúntes los que están deformados y se mueven con extrema lentitud.

7. Relatividad en presencia de gravedad

La Teoría Especial de la Relatividad es insuficiente para describir el Universo real, en el que existen cuerpos con masa que se atraen unos a otros. Para ello necesitamos la Teoría General de la Relatividad que Einstein formuló con esta intención. A partir de ella se pueden explicar los agujeros negros, la curvatura del espacio, la curvatura de la luz  ante grandes masas como  planetas, estrellas..., los viajes en el tiempo. Algo apasionante que veremos en una próxima ocasión.

Referencias

D. Bodanis: E = mc²: la biografía de la ecuación más famosa de Einstein. Planeta, Barcelona, 2005.

Instituto de Astrofísica de Canarias: Cosmoeduca: Relatividad,
http://www.iac.es/cosmoeduca/relatividad

 

 

 

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