Recibido: miércoles, 04 enero 2006
¿Qué
pasaría si...
...rodeáramos a la tierra con una cinta formando un círculo
concéntrico con el ecuador pero un metro más largo? ¿Cuál sería la separación
entre el ecuador y la cinta? Si en cambio rodeáramos de la misma manera a una
guinda, ¿cuál sería la separación?
[La
solución, en el próximo número]
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Solución al problema anterior
...nos planteáramos el encontrar
una figura de área finita pero con perímetro infinito? ¿Podríamos hacerlo? ¿Cómo?
Respuesta: Sí que podríamos hacerlo. He aquí un primer ejemplo.
El dibujo de la Figura 1
está formado por un número infinito de rectángulos de base 
y alturas en la sucesión geométrica ,
medidas en metros.
El perímetro es claramente mayor que la suma de las longitudes de todas
las bases, que es igual a .
En cuanto al área, será la suma de las áreas de todos los rectángulos, o sea
Podemos calcular este área usando la fórmula para la suma de los primeros términos de la sucesión geométrica,
Cuando toma valores más y más grandes, el número es cada vez más próximo a cero, con lo cual
tendremos
Es decir, el área de la figura es de 2 metros cuadrados.
El precio que pagamos por la simplicidad de este ejemplo es que la
figura se extiende indefinidamente hacia la derecha. Si nos sintiéramos más
ambiciosos, podríamos preguntarnos si es posible encontrar un ejemplo que esté
contenido, digamos, en un círculo. Esto es también posible. Para construir este
ejemplo vamos a usar una curva que fue estudiada por el matemático sueco Niels
Fabian Helge von Koch (1870-1924) en un artículo que publicó en 1906. He aquí
la construcción de von Koch.
Comenzamos con un segmento de longitud ,
digamos que en metros. Dividimos el segmento en tres partes iguales, cada una
de longitud metros y dibujamos sobre el segmento medio un
triángulo equilátero, como lo muestra la Figura 2.
En cada uno de los cuatro segmentos que nos han quedado, repetimos el
proceso anterior de dividir el segmento en tres partes iguales y de usar el
segmento medio como base de un triángulo equilátero, que ahora tendrá lados de
longitud metros. La Figura 3 muestra el resultado de este segundo
paso.
Repitiendo este proceso indefinidamente, obtendremos la llamada curva de Koch. Con esta construcción von
Koch obtuvo un ejemplo de una curva que no tiene tangente en ningún punto, como
él mismo demostró en su artículo de 1906.
Vamos a ver ahora que la curva de Koch tiene longitud infinita.
Empecemos por ver qué longitud tiene la curva que se obtiene en cada paso.
En el primer paso la longitud es de
metros. En el segundo paso es de metros. Así siguiendo, en el paso -ésimo la longitud es de metros. La longitud de la curva de Koch debe
ser entonces infinita, porque al hacerse
más y más grande, la cantidad se hace infinitamente grande.
Esta observación nos da una buena idea de cómo construir nuestro
segundo ejemplo de una figura de área finita con perímetro infinito. Vamos a
usar la figura que se llama isla de Koch
o copo de nieve de Koch. Básicamente,
lo que se hace es poner una curva de Koch en cada uno de los lados de un
triángulo equilátero con lados de longitud
medida en metros.
Podemos ver en las Figuras 4
y 5 la construcción de la isla de Koch.
Es claro que la figura final tendrá perímetro infinito, puesto que el
perímetro está formado por tres curvas de Koch. Veremos ahora que el área de la
isla es finita. Más precisamente, lo que vamos a hacer es calcular ese área.
Empezamos calculando cuántos triángulos agregamos al triángulo inicial, en cada
paso. Si pensamos por un momento en el proceso de construir la curva de Koch,
nos daremos cuenta que el número de triángulos agregados en cada paso es igual
al número de segmentos que había en el paso anterior. Calculemos este número de
segmentos.
Comenzamos con lo que llamaremos el paso cero, cuando tenemos tres
segmentos, o segmentos. En el paso uno tenemos segmentos; en el paso dos, segmentos. Así siguiendo, en el paso habrá segmentos. Esto implica que en el paso se agregan
triángulos. Para calcular el área total de
estos triángulos comenzamos por calcular el área de un triángulo, que tiene
base . La Figura 6
que sigue muestra que la altura del triángulo es igual a .
Entonces el área del triángulo es
metros,
por lo cual el área agregada en
el paso es igual a
metros.
El área total de la figura es el área del triángulo inicial más la suma
de todas las áreas agregadas en todos los pasos. Es decir que el área total, en
metros, es
Organizando un poco mejor las cosas, nos queda
Con las mismas ideas sobre sucesiones geométricas que usamos al
principio, vemos que
O sea que el área de la isla de Koch es
De este resultado se pueden sacar varias conclusiones interesantes. La
primera es que el área de todos los triángulos añadidos es igual a del área del triángulo inicial.
La segunda conclusión es que la isla de Koch, siempre con perímetro
infinito, puede tener área tan pequeña como uno quiera, eligiendo suficientemente pequeño.
Finalmente, observemos que la isla de Koch está contenida en un
círculo, como lo sugiere la Figura 7.
Informalmente hablando, una curva de longitud infinita puede vivir
dentro de un círculo porque la curva cambia de dirección abruptamente en cada
punto. Este comportamiento tan complejo fue observado por el físico francés
Jean Baptiste Perrin (1870-1942) en sus experimentos para corroborar la
hipótesis de que líquidos y gases están formados por partículas en constante
movimiento. Perrin publicó sus primeras observaciones en 1909 y recibió el
premio Nobel de Física en 1926.
La curva de Koch y otras construcciones similares cayeron en el olvido
hasta los años cincuenta. En ese entonces el matemático Benoît Mandelbrot,
nacido en Polonia en 1924, comenzó a elaborar su teoría de los objetos
geométricos que llamó fractales.
Mandelbrot encontró inspiración en el matemático inglés Lewis Fry Richardson
(1881-1953), quien en un trabajo finalmente publicado en 1961 observó, entre
otras cosas, la diferencia de los valores dados en España y Portugal a la
longitud de la frontera entre ambos países. Richardson conjeturó que esta discrepancia
podía deberse a las diferentes escalas de medición usadas en uno y otro país.
En otras palabras, el resultado de la longitud a medir parece depender de la
unidad de medida que se use, si se trata de una curva muy complicada. Esto es
lo que pasa con la “costa” de nuestra isla de Koch. A medida que elegimos
unidades más y más pequeñas, podemos incluir en nuestra medición más y más
detalles, produciendo en definitiva una longitud infinita.
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Sobre la autora
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Josefina
(Lolina) Álvarez es Professor of Mathematics en New Mexico State
University (USA). Especialista en análisis armónico y funcional, se doctoró
en Matemáticas por la Universidad de Buenos Aires (Argentina), bajo la
dirección de A.P. Calderón. Ha ocupado diversos puestos y cargos académicos
en la Universidad de Buenos Aires y en las estadounidenses de Princeton,
Chicago, Florida Atlantic University y New Mexico. Ha sido investigadora del
CONICET (Argentina). Miembro de la Unión Matemática Argentina, Mathematical
Association of America y American Mathematical Society, formó parte del Committee on Committees de esta última entre 1999 y 2002. Ha
dictado numerosas conferencias en congresos y sesiones especiales e impartido
seminarios en Alemania, Argentina, Bélgica, Brasil, Canadá, Colombia, España,
Estados Unidos, México, Perú, Polonia, Suecia y Venezuela. Ha pertenecido y
en varias ocasiones presidido los comités organizadores de distintos
congresos y minisimposia. Ha ejercido como evaluadora para prestigiosas
revistas especializadas. Desde 2002 es Editora Asociada del
Rocky Mountain Journal of Mathematics.
Autora
o coautora de numerosos artículos científicos y varias monografías en
análisis armónico y funcional y directora de dos tesis doctorales, ha desarrollado
asimismo una intensa actividad en el campo de la educación matemática,
habiendo recibido
diversos galardones a la excelencia docente.
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