Modelizar la naturaleza con fractales
Martin J. Turner
Imaging
Research Centre
SERC, De
Montfort University (Leicester, UK)
e-mail:
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página web: http://www.dmu.ac.uk/~mt
El movimiento
browniano en la naturaleza
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Fue el botánico escocés Robert Brown quien observó el
movimiento casi aleatorio de una partícula pequeña cuando se sumerge en un
líquido o un gas. El líquido o el gas se componen de moléculas que se mueven
continuamente y golpean a la partícula desde diversas direcciones. En su
honor, este movimiento ahora se denomina browniano.
Un físico, Jean Perrin, intentó medir la velocidad de la partícula, que es la derivada de
su posición con respecto al tiempo, pero encontró que dicha velocidad “varía
de la manera más salvaje en magnitud y dirección, y no tiende a un límite a
medida que el tiempo invertido en una observación disminuye”, y dijo también
que “la naturaleza
contiene sugerencias de procesos no diferenciables así como de procesos
diferenciables”.
Las imágenes de la izquierda muestran una
partícula generada por ordenador que es observada en distintos intervalos del
tiempo. A medida que se reducen los intervalos temporales la longitud
calculada de la trayectoria aumenta.
La Figura 1 muestra la trayectoria
de una partícula generada por ordenador. La posición de la partícula es observada y trazada a intervalos regulares de tiempo. La Figura 2 muestra la misma trayectoria pero
con la frecuencia de las observaciones duplicada cada vez.
Este estudio del
movimiento browniano nos enseña que algunos procesos naturales son modelados
mejor por funciones no diferenciables. Las gráficas de estas funciones
tendrán una longitud infinita.
El término fractal, introducido a mediados de los
años setenta del siglo pasado por Benoît Mandelbrot, se utiliza ahora comúnmente
para describir esta familia de funciones no diferenciables, cuya gráfica tiene
longitud infinita. A medida que miramos la curva más de cerca, la longitud
aparente es cada vez mayor. En el límite, esto crearía una curva infinitamente
larga. En realidad, alcanzamos el nivel minúsculo de las moléculas que están
empujando la partícula.
Von
Koch: De curvas a islas
Uno de los fractales deterministas más famosos, fue
descrito por Niels von Koch y se denomina Isla
de Von Koch. Para su
construcción, comenzaremos con un solo segmento de recta que llamaremos iniciador (Figura 3). A continuación, definimos un generador, o regla de producción,
que enunciamos de la siguiente forma: “Tomar el iniciador, rescalarlo por un
factor 1/3, hacer N=4 copias y
sustituir el iniciador por las copias reescaladas, orientadas como se muestra
en la Figura 4”. Se repite el generador (Figura 5), y se
repite, y se repite, y se repite...(Figura 6).
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Longitud=6392,
iteración=32
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Figura
1.
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Longitud=8747, iteración=16
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Longitud=12091, iteración=8
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Longitud=17453, iteración=4
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Figura
2.
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Tras un número infinito de
repeticiones, esta curva será no diferenciable en ninguno de sus puntos y además
tendrá longitud infinita. Para crear la Isla
de Von Koch (también
llamada el Copo de Nieve de Von Koch) ensamblamos tres segmentos de recta
para formar un triángulo y repetimos el proceso anterior en cada uno de sus
lados.
Contrariamente a lo que pudiera
parecer, no es demasiado difícil calcular el área encerrada por cada nivel de
la Isla. Podemos definir el área del triángulo original como
En cada nivel, los triángulos
pequeños añadidos a la Isla son un noveno del tamaño de los últimos triángulos
agregados. En el nivel 1 añadimos tres triángulos, así que
Después de esto, el número de los
triángulos pequeños agregados en cada nivel es cuatro veces el número agregado en el nivel anterior. Los
diagramas de la Figura
7 pueden ayudarnos a establecer el porqué.
Así pues, en el nivel 2,
y en el nivel 3,
Repitiendo estos pasos, vemos que en
el nivel n
Por tanto, para n tendiendo a infinito encontramos
que el área converge:
De este modo, aunque la isla tiene
una frontera fractal, y por lo tanto de longitud infinita, el área encerrada es
finita y está muy bien definida.
Paisajes: Superficies de
Mandelbrot
La curva de Koch es determinista en
tanto que siempre tiene el mismo aspecto con independencia de la frecuencia con
que se crea. Ahora, añadiremos una cierta aleatoriedad al proceso y la utilizaremos
para crear un paisaje de montaña artificial.
Comenzamos con una rejilla de cuatro
puntos, que definen las esquinas. Ahora especificamos cuatro valores al azar,
que definen las alturas en esos puntos, y escalamos las alturas por un factor d.
A continuación, dividimos este cuadrado
en otros cuatro. Esto definirá cuatro nuevos puntos alrededor del borde de
nuestro cuadrado original, y también un punto en su centro. Las alturas en
estos cinco nuevos puntos se calculan como sigue:
1.
Dado
un punto en el borde, primero calculamos
el promedio de las alturas de sus dos esquinas vecinas, y luego añadimos un
valor al azar. Este valor al azar está distribuido normalmente y escalado por
un factor d1 que guarda con la d original la relación
2.
Para
el punto en el centro, calculamos el promedio de las cuatro esquinas originales, y después añadimos
un valor aleatorio, escalado como antes.
Podemos ahora realizar exactamente
el mismo procedimiento en cada uno de los cuatro cuadrados menores y reiterarlo
tantas veces como queramos, pero haciendo el factor de escalado progresivamente
más pequeño en cada etapa; procediendo así, nos aseguramos de que, a medida que
miramos el paisaje más de cerca, las protuberancias de la superficie son menores,
exactamente como ocurre en un paisaje verdadero. El factor de escalado en la
etapa n es dn , dado por
Finalmente, alcanzamos un paisaje
fractal continuo.
El valor de H usado
arriba define cómo es de liso es el paisaje que resulta. Cuando H es
pequeño, la superficie es muy escarpada; a medida que H aumenta,
el paisaje se vuelve más liso. La secuencia de la
Figura 8
muestra qué sucede al variar
H.
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H = 0'50
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H = 0'75
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H = 1'00
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H = 1'25
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Figura 8.
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Resulta que, usando diferentes
conjuntos de números aleatorios como generadores pueden crearse muchos paisajes
fractales contrastados de este tipo. Un conjunto infinito de números aleatorios
puede crear un paisaje con infinitos detalles.
Desarrollos modernos
Hoy en día los fractales se usan de
muchas maneras para crear paisajes texturados y otros modelos intrincados. Es
posible crear toda suerte de falsificaciones
fractales realistas,
imágenes de escenas naturales, tales como paisajes lunares, montañosos y líneas
de costa, por nombrar sólo unos pocos ejemplos (Figuras 9 y 10). Esto se ve en muchos
efectos especiales dentro de las películas de Hollywood y también en anuncios televisivos.
El “efecto Génesis” en la película Star Trek II fue creado usando algoritmos de paisajes fractales, y en El retorno del Jedi se utilizaron
fractales para crear la orografía de una luna y para dibujar el contorno de la temida
Estrella de la Muerte. Pero las
señales fractales pueden ser también utilizadas para modelizar objetos
naturales, permitiéndonos definir matemáticamente nuestro entorno con algo más
de exactitud que antes.
Referencias
Las matemáticas de los fractales se
discuten en algunos sitios curiosos de Internet:
Sprott's Fractal Gallery, http://sprott.physics.wisc.edu/fractals.htm
Mary Ann Connors - Exploring Fractals, http://www.math.umass.edu/~mconnors/fractal/fractal.html
Fractal FAQ (Frequently Asked Questions), [1]
http://www.lib.ox.ac.uk/internet/news/faq/archive/fractal-faq.html
y en muchos libros, entre ellos:
M.F. Barnsley: Fractals everywhere (2nd. ed., revised with the assistance of
Hawley Rising III). Academic Press Professional, 1993.
C.A. Pickover: Computers,
Pattern, Chaos and Beauty: graphics from an unseen world. Sutton, 1990.
B.B. Mandelbrot: The fractal geometry of Nature. W.H. Freeman, 1982.
Algunas de las imágenes y parte del
texto de este artículo provienen del libro siguiente:
M.J. Turner, J.M. Blackledge, P.R. Andrews: Fractal geometry
in digital imaging. Academic Press, 1998.
Las biografías de los matemáticos
mencionados en el artículo están disponibles en el MacTutor
history of mathematics archive:
Benoit B. Mandelbrot
Niels F.H. von Koch
