Arte Fractal I (*)

Figura 13. Geometría clásica y naturaleza.

Un ingeniero polaco, de nombre Benoît Mandelbrot, trabajaba en la École Politechnique de París, sobre teorías matemáticas relacionadas con la complejidad y el caos de los fenómenos naturales.

La Geometría clásica, creada hace más de 2000 años, está basada en formas como esferas, cilindros, conos, parábolas, elipses, todas ellas simples, bien conocidas. Son formas útiles en la arquitectura humana, pero no tanto en la naturaleza (Figura 13). Nuestro entorno no está hecho en su mayor parte de esferas y cuadrados (naturalmente me refiero a nuestro entorno natural, no al artificial creado por el hombre.)

Figura 14. Línea de costa.

En palabras del propio Mandelbrot, las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son circulares y las cortezas no son lisas, ni tampoco el rayo va en línea recta.

En 1975 Mandelbrot inventó la palabra fractal para designar la estructura que siguen ciertas formas naturales. “Fractal” viene del latín “fractus”, que significa “fragmentado” o “roto”, y también “irregular”. Es la palabra perfecta. Veamos algunos ejemplos de fractales naturales.

Figura 15. Cuatro ampliaciones del mismo lugar.

Fijémonos en los cuatro dibujos de la Figura 14. Los he sacado de un atlas y, para no dar pistas, he pintado toda la tierra de verde y todo el mar de azul. Así, no podemos ver montañas, cordilleras, ríos, poblaciones, ni nada que nos pueda ayudar a saber cuál es la escala. Sólo hay una línea irregular que separa la tierra verde del mar azul. La pregunta es: ¿se puede decir algo de la escala de estas imágenes? ¿Cuántos kilómetros abarca una de ellas?

A simple vista no parece haber diferencias entre ellas. Simplemente parecen haber sido tomadas del mismo mapa, en lugares diferentes, pero con la misma escala. ¿Verdad?

Figura 16. Autosemejanza en una rama de helecho.

Pues no. En la Figura 15 se puede comprobar algo que en un principio no era tan evidente. Son ampliaciones sucesivas, esto es, se trata de cuatro vistas del mismo lugar, concretamente en la costa norte de Australia, pero con cuatro aumentos distintos. Pero lo más interesante es que la línea de costa presenta la misma estructura en una vista de satélite que en una de avión. Veamos otro ejemplo en la naturaleza.

Esta hoja de helecho (Figura 16), una escolopendra, tiene una bella estructura, que se parece mucho a la de cualquiera de sus fragmentos, y ésta a su vez a la de los fragmentos menores. Esto se llama autosemejanza, es decir, parecerse a sí mismo. Más ejemplos de autosemejanza en la naturaleza pueden verse en la Figura 17.

Figura 17. Más fractales naturales.

Una nube es un espectáculo natural, cotidiano y maravilloso. Todos hemos pasado alguna vez un rato observando su forma y su movimiento. Les buscamos parecido con elefantes, pájaros y naves extraterrestres. Las nubes tienen la misma apariencia vistas desde lejos que desde la ventanilla de un avión. Un pedazo de nube se parece una nube completa. ¿A qué distancia se encuentra ese mechón de nube? Sin una referencia conocida, como por ejemplo un pájaro o un avión que pase por allí, no se puede saber. La forma del mechón de nube no dice nada sobre su tamaño.

Figura 18. El Copo de Nieve de Koch.

Figura 19. Triángulo de Sierpinski.

Monstruos matemáticos

Los matemáticos de aquella época, extrañados, etiquetaron ésta y otras figuras como “monstruos matemáticos”. Otro monstruo es el Triángulo de Sierpinski (Figura 19), que se obtiene a partir de un triángulo inicialmente sólido, retirándole de su parte central un triángulo semejante, más pequeño, invertido, y repitiendo el proceso con los tres triángulos, también semejantes, que quedan. El resultado final de este proceso infinito es el que vemos en la Figura 2.

Los matemáticos han encontrado que el área del triángulo de Sierpinski es cero. Sí, sí, cero. Se trata de una figura cuya superficie es nula. Es como si fuese una colcha de tela de araña o de tul muy tenue, hecha de un hilo tan fino, tan fino, que no llega a cubrir absolutamente nada. Podría ser un bonito velo fractal para una novia fractal en su boda fractal, pero está claro que su utilidad como manta para el invierno queda descartada.

Otro monstruo es la Alfombra de Sierpinski (Figura 20), que es el equivalente del anterior, pero con cuadrados. Al igual que el triángulo, tiene un área de cero unidades. Por tanto, esta alfombra tiene la ventaja de que no hace falta levantarla para barrer por debajo, porque como no tapa nada... Así que el que consiga fabricar alfombras de Sierpinski, puede tener el negocio asegurado.

Otro monstruo, pero en tres dimensiones, es la Esponja de Menger (Figura 21), que se obtiene a partir de un cubo macizo, subdividiéndolo en 27 cubitos iguales más pequeños y retirando el cubito central interior y los centros de cada una de las seis caras, en total siete cubitos. Después de esto quedan 20 cubitos, a los cuales se les repite individualmente este proceso, y así indefinidamente. Aquí vemos las tres primeras fases de la construcción de la esponja de Menger.

Figura 20. Alfombra de Sierpinski.

Figura 21. Esponja de Menger.

Para ver mucho más claro qué forma tiene la porción que se retira del cubo en la primera fase, permítanme recurrir a un artista universal, el español Salvador Dalí. La Figura 22 muestra su obra titulada Corpus Hipercubicus, que se suele citar como ejemplo visible del desarrollo tridimensional de un hipercubo de cuatro dimensiones, pero a mí me sirve aquí para ilustrar la parte retirada del cubo. Bueno, con la salvedad del cubito inferior, donde Jesucristo tiene sus pies apoyados.

Hagamos una breve visita turística a la esponja de Menger (Figura 23).

Figura 22. Corpus Hipercubicus, de Salvador Dalí.

Figura 23. Diversas perspectivas de la

esponja de Menger.

Pues resulta que la esponja de Menger tiene un volumen de cero unidades. ¿Se imaginan una esponja que no ocupe absolutamente ningún volumen? Debe de ser capaz de empapar un montón de líquido, así que sus posibilidades comerciales como artículo de limpieza y de aseo son fantásticas. Además, su transporte sería baratísimo, primero, porque no pesa nada, y segundo porque, si las comprimimos, podemos empaquetar mil trillones de esponjas en una caja de cerillas... y la caja seguiría estando igual de vacía.