Recibido: jueves, 25 agosto 2005; aceptado: miércoles, 14 septiembre 2005

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Por un puñado de perlas

 

Juan Francisco Guirado Granados

Departamento de Matemáticas

IES Carmen de Burgos (Huércal de Almería)

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Coronel Mortimer: ¿Algún problema, muchacho?

El Manco: Ninguno. Es que no me salían las cuentas.

FINAL DE LA MUERTE TENÍA UN PRECIO

 

Odio las sumas... si se hace una suma de arriba abajo y luego de abajo arriba, el resultado es siempre distinto.

MADAME LA TOUCHE

 

Qué difícil es hacer cuentas. Hasta con las más simples, de vez en cuando nos equivocamos. Fallar haciendo una suma o una resta no es nuevo; lleva muchos siglos entre nosotros esta condena, y al paso que vamos cada vez será más complicado hacer “cálculos de cabeza”. Con el paso de los años, la humanidad ha ido desarrollando métodos para calcular de forma fiable y rápida. Algunos métodos han tenido más éxito que otros; es más, algunos aún persisten después de muchísimos años, y otros han desaparecido de la sociedad y sólo quedan en algunos libros. La habilidad para no equivocarse mucho haciendo cálculos nos puede sacar de más de un apuro en nuestra vida cotidiana, ya sea cuando realizamos la compra en unos grandes almacenes, jugando una partida de cartas o calculando el descuento en alguna oferta.

 

Figura 1. En el hipermercado.

Las cuentas cotidianas

 

Que los números están presentes en casi todas nuestras actividades diarias es una verdad como un templo: el que no quiera admitirlo, peor para él. Ya que tenemos que convivir con ellos, lo mejor es saber cómo son, su comportamiento, su transformación, sus reglas y sus problemas. Pongámonos en la siguiente situación: sábado por la tarde, centro comercial y tenemos que realizar la compra semanal. Cada persona tiene su propia estrategia para hacer la cuenta de lo que lleva gastado al ir echando productos en el carrito de la compra. Las estrategias para ir sumando los precios de los productos con más o menos exactitud varían de una persona a otra. Veamos dos métodos para llevar las cuentas que aparecen en el libro Cómo mojar una galleta: la ciencia en la vida cotidiana, de Len Fisher.

 

LISTA DE LA COMPRA
Zumo de Naranja......................................... Limones....................................................... Zumo de Naranja......................................... Whisky Escocés........................................... Leche........................................................... Limpiador Baño........................................... Jamón Ahumado.......................................... Guisantes..................................................... Embutido..................................................... Bacon........................................................... Carne Guisada.............................................. Filete Pierna................................................. Medio Pollo................................................. Mantequilla.................................................. Salchicha...................................................... Nescafé........................................................ Bolsas Filtro................................................. Sultanas............................................ PCH Chutney....................................... Azúcar.......................................................... Ibuprofeno................................................... Ibuprofeno................................................... Analgésico................................................... Nata Spray.................................................... Talco............................................................ Pan de Molde............................................... Matamoscas................................................. Patatas.......................................................... Huevos......................................................... Plátanos........................................................ Champiñones...............................................	1,59 0,99 1,59 7,49 0,49 1,09 1,45 0,88 1,69 1,87 1,13 1,99 2,99 0,49 0,79 2,49 0,75 0,89 0,99 0,85 1,99 1,99 0,85 1,35 1,79 0,59 1,49 0,62 0,73 1,04 0,67
TOTAL	45,60
Tabla 1. Lista de la compra.

Consideremos la lista de la compra que se muestra en la Tabla 1. El primer método, el del profesor Fisher, consiste, más o menos, en sumar la parte entera de todos los precios de los productos y luego dos tercios del número total de productos; en este caso son 25 más dos tercios de 31, que es el número de productos: en total, 45,66.

 

El segundo método, el de su mujer, y el más utilizado comúnmente, es el de cuadrar el precio al alza o a la baja según termine entre 01 y 49 -a la baja- y 50 y 99 -al alza-. De esta forma la cuenta saldría 46. Como se puede apreciar, para emplear cualquiera de los dos métodos necesitamos tener cierta agilidad mental para sumar e ir acumulando cálculos, no muy grandes; pero sí debemos tener cuidado, ya que al ir acumulando cifras, podemos llevarnos un pequeño susto con la cajera.

 

Ocurre más o menos lo mismo con la conversión de euros a pesetas y viceversa. Si no somos muy finos en nuestros cálculos, el resultado final puede que no sea exactamente el esperado. La regla de que 6 euros son 1.000 pesetas puede llevarnos, moviéndonos con números grandes, a tener que ajustar un poco las cuentas al final. Si 6 euros son 1.000 pesetas, 6.000 euros son 1.000.000 de pesetas, y 6.000.000 de euros son 1.000.000.000 de pesetas; pero no es cierto: 6 euros son 998,32 pesetas, 6.000 euros son 998.316 pesetas, y 6.000.000 de euros son 998.316.000 pesetas, cantidad algo alejada de la que tenemos en mente.

  

 

  

Aritmética hindú

 

Figura 2. Ábaco y calculadora.

Con los años, el hombre ha ido desarrollando algoritmos para poder calcular mejor. En la actualidad, quitando algunas zonas de Asia que todavía utilizan el ábaco en muchas operaciones, todos nos fiamos de lo que nos pone en la calculadora o el ordenador personal cuando realizamos una serie de cálculos. ¡Qué mala impresión nos produciría un empleado de banca que realizara los cálculos de nuestra hipoteca con papel y lápiz! Pero todavía quedan formas de realizar cuentas algo pintorescas, extrañas y bellas, como la forma que tenían de multiplicar los hindúes hace muchos siglos.

 

A partir del siglo V, los aritméticos hindúes realizaron sus multiplicaciones de la siguiente forma que voy a describir. Se trata del procedimiento llamado “por cuadrículas” (o también  “por cuadro”). Después lo utilizaron los árabes y ellos lo introdujeron en Europa, donde se le dio el nombre de per gelosía (“por celosía”). Su disposición es bastante singular, aunque el resultado final se obtenga, al igual que en nuestra técnica actual, añadiendo dos a dos los productos de las diferentes cifras del multiplicando y del multiplicador.

 

Supongamos que tenemos que multiplicar 6.538 por 547. Al tener el multiplicando 4 cifras y el multiplicador 3, dibujamos un cuadro rectangular con 4 columnas y 3 filas. Encima del cuadro, y de izquierda a derecha, anotamos las cifras 6, 5, 3 y 8 del multiplicando; a la izquierda apuntamos las cifras 5, 4 y 7 del multiplicador, pero esta vez de abajo a arriba (Figura 3).

 

Luego, dividimos cada casilla del cuadro en dos mitades trazando una diagonal que une su vértice superior izquierdo con su vértice inferior derecho (Figura 4). A continuación, en cada casilla inscribimos el producto de las dos cifras que encabezan la fila y la columna correspondiente. Este producto es, por supuesto, inferior a 100: escribimos la cifra de sus decenas en la mitad inferior izquierda de la casilla y la de sus unidades en la mitad superior derecha de la casilla. Y si faltara alguno de estos órdenes de unidades, bastaría entonces con colocar un cero en la mitad correspondiente de la casilla.

 

 

En el primer cuadrado arriba, y a la derecha, escribimos el resultado de la multiplicación de 8 por 7, o sea 56, colocando el 5 en la mitad izquierda de la casilla y el 6 en la mitad derecha. Y así sucesivamente.

 

Figura 5.

Fuera del rectángulo, sumamos las cifras de cada diagonal, empezando por la formada por la cifra 6, arriba y a la derecha del cuadro (Figura 5). Luego procedemos en diagonal, de derecha a izquierda y de arriba abajo. Si fuese necesario, llevamos el sobrante de una diagonal a la siguiente y conseguimos así, de una en una, fuera del cuadro, todas las cifras del producto final. Resultado que se lee claramente de izquierda a derecha. O sea, en este caso 3.576.286.

 

Una forma estupenda de multiplicar, muy visual, pero en los tiempos que corren lo mejor es que sea directa, fiable y simple. La forma en que se nos enseñó en la escuela desde pequeños a sumar, restar, multiplicar y dividir ha sido el fruto de muchos años de esfuerzo y trabajo por parte de la Humanidad para poder dotar a la sociedad de unas herramientas con las que desenvolverse con los mínimos problemas posibles ante el innumerable conjunto de situaciones que van surgiendo todos los días y que tenemos que saber solventar como sea.

 

 

Figura 6. Alberto Coto.

Alberto Coto

 

Según el calculista Alberto Coto, Record Guinness de Cálculo Mental, su forma de sumar y multiplicar, que no es exactamente a la que todos estamos acostumbrados, es bastante mejor que la que usamos diariamente para nuestros cálculos. Para él es más fácil sumar de izquierda a derecha. Las ventajas de hacer las sumas de esta forma son fundamentalmente dos: por un lado no tenemos que llevar en cuenta el resultado de las unidades. Y por otra parte, aunque no diésemos el resultado correcto, siempre será mucho más fácil dar una aproximación si lo hacemos de izquierda a derecha. Su forma de multiplicar es también un poco diferente a como nos la enseñaron de pequeños. Si por ejemplo queremos multiplicar 258 por 847, que es 218.526, seguimos estos pasos:

 

 

 

 

Se va cruzando la multiplicación, corriendo un lugar a cada paso que se va dando. Se combinan las multiplicaciones con sumas sucesivas, algo diferente a lo usual, ya que requiere una memorización a corto plazo a la que normalmente no estamos acostumbrados.

 

Juegos numéricos

 

Los soldados van a preguntar al teniente y éste, como tiene algo de prisa, les dice que lo que hará no es efectuar la división, sino repasarla por si el sargento se ha equivocado al dividir. Lo que haré será multiplicar 27 por 3 y a lo que me dé le sumaré el resto, que es cero, dijo el teniente, y en vez de hacer eso lo que hizo fue sumar 27 tres veces, pero de la siguiente forma:

27 27 +  27 27

7 más 7 más 7 son 21; más 2, 23; más 2, 25; y más 2, 27. ¡La división está bien hecha, no molesten más ni al sargento ni a mí, que estamos muy ocupados!

 

Con otros números se pueden hacer juegos similares, como por ejemplo probar de tres maneras diferentes que 7x13 son 28, como aparece en la película In the Navy (Arthur Lubin, 1941) de Abbott y Costello.

 

Conclusión

 

Me gustaría concluir con una expresión y un comentario que les hago demasiadas veces a mis alumnos: Dejad un poco la calculadora y utilizad la cabeza, la calculadora de los pobres. Ellos se ríen, y alguno intenta hacer las cuentas de cabeza, pero normalmente termina utilizando los dedos de la mano para ayudarse en los cálculos. Entonces vuelvo al ataque y les pregunto si causa buena impresión ver a una persona mayor, sus padres por ejemplo, hacer cuentas con los dedos. Eso demuestra una torpeza que la sociedad no está dispuesta a permitir. Y les digo que si se fijan, sobre todo en los bares, los hombres que muchas veces tienen las manos metidas en los bolsillos haciendo tratos con otros hombres no tienen las manos ahí porque quieran, sino para que no se note que están haciendo las cuentas del trato sin que se vea; igual que se hacen las pujas en los países de Oriente Próximo para las perlas: dos personas se echan la mano y se les pone un trapo grueso por encima, y según sean las señales que se hacen con los dedos, esa será la puja por un puñado de perlas.

 

Bibliografía

 

Alberto Coto, calculista Record Guinness, http://www.albertocoto.com.

A. Coto: La aventura del cálculo: cómo calcular mejor, 2003.

L. Fisher: Cómo mojar una galleta: la ciencia en la vida cotidiana. Editorial Mondadori, Colección Arena Abierta, 2003.

G. Ifrah: Las cifras: historia de una gran invención. Alianza Editorial, 1987.

A.J. Población: Las Matemáticas en el Cine,

http://www.divulgamat.net/weborriak/Cultura/CineMate/AlfonsoJ/index.asp.

 

 

Sobre el autor

Juan F. Guirado Granados acabó la Licenciatura en Matemáticas en 1999 en la Universidad de Granada. Desde el año 2000 ha impartido clases de Matemáticas e Informática en Secundaria para la Consejería de Educación de la Junta de Andalucía, y en la actualidad pertenece a la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales y a la Real Sociedad Matemática Española. En estos momentos es profesor del IES Carmen de Burgos de Huércal de Almería, aunque vive y es del Desierto de Tabernas, Almería.