Recibido: miércoles, 02 marzo 2005
Jaime Gil Aluja
Departamento de Economía y Organización de Empresas
Universidad de Barcelona
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La encrucijada
geometrismo-darwinismo
No existe la menor duda de que algo importante estaba
pugnando por emerger a la superficie de la actividad científica cuando aún
destilaban las primeras esencias del evolucionismo, rica herencia del siglo XIX. Unas
breves pinceladas deberían poder situarnos en el punto de arranque de una nueva aventura. Para ello recurriremos
a Darwin y a Clausius. En su fundamental obra El origen de las especies, publicada en 1859, Darwin combina dos elementos: fluctuaciones e irreversibilidad. En
efecto, sostiene que las fluctuaciones en
las especies biológicas, gracias a la selección del medio, dan lugar a una
evolución biológica irreversible. De
la asociación entre fluctuaciones
(que asimila a la idea de azar, diríamos nosotros incertidumbre) e irreversibilidad tiene lugar una autoorganización de sistemas con una
creciente complejidad.
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El origen de las especies (1859).
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Por su parte, Clausius
formula, en 1865, la “ley de aumento de
la entropía”, con la correspondiente división entre procesos reversibles e irreversibles. Esta distinción se hace explícita en la segunda ley que postula la existencia de una función, la entropía[1],
la cual, en un sistema aislado, aumenta cuando existen procesos irreversibles y
se mantiene constante en presencia de procesos reversibles. Por lo tanto, la
entropía alcanza un valor máximo cuando el sistema llega al equilibrio y acaba
el proceso irreversible. El físico Ludwing
Boltzmann (1844-1906) llegó a la conclusión de que la entropía 
se halla ligada con la probabilidad .
En su tumba existe una lápida en la cual se grabó la fórmula:
,
en la que es una constante universal, a la que Max Kart Ernst Ludwig Planck
(1858-1947) asoció el nombre de Boltzmann.
Tanto en el caso de Darwin
como en el de Boltzmann, azar y
evolución se hallan estrechamente relacionados, pero el resultado de sus
respectivas investigaciones conducen a conclusiones contrapuestas. En Boltzmann, la probabilidad llega a su máximo cuando se alcanza la uniformidad, mientras que en Darwin la evolución conduce a nuevas estructuras autoorganizadas.
En contraposición con estas perspectivas, el prototipo de la
física clásica es la mecánica del movimiento, la descripción
de trayectorias de carácter reversible
y determinista, en donde la
dirección del tiempo no juega papel alguno, en la cual no existe un lugar ni
para el azar ni para la irreversibilidad. En definitiva, el universo constituye
un inmenso autómata. En un cierto
sentido, este panorama es el mismo que en la física cuántica.
La verdad es que, con independencia de la posición desde la
cual tenga lugar el enfoque, el universo posee una estructura compleja. Como
sostiene Jacques Monod en su obra El azar y la necesidad, la vida es un
simple accidente en la historia de la naturaleza que, por un motivo no muy
claro, es capaz de mantenerse. Es bien cierto que algunos fenómenos se pueden
perfectamente describir mediante ecuaciones
deterministas (movimiento de los planetas), pero, en cambio, otros
comportan procesos inciertos o, en
todo caso, estocásticos (desarrollos
biológicos). Podría suceder que la vida,
en lo que tiene de irreversibilidad, se hallara, también, inscrita en las leyes generales desde el momento
primigenio del Big-Bang. Pero la ciencia, de tanto buscar las generalidades,
las simetrías y las leyes, ha encontrado lo mutable, lo temporal y lo complejo.
En la búsqueda de ordenar
el desorden
Los estudiosos de todos los ámbitos del conocimiento están
observando procesos en los cuales tiene lugar la transición del caos al orden, es decir secuencias dirigidas a una autoorganización. La pregunta que se
impone es cómo tiene lugar esta
creación de estructuras, es decir esta autoorganización.
Pues bien, dada la entropía de un sistema, si se perturba de tal manera que un
estado permanece suficientemente cerca del equilibrio el sistema responde
reestableciendo la situación inicial. Existen, pues, mecanismos que lo hacen
inmune a las perturbaciones. Se trata de un sistema estable. Pero si un estado es llevado suficientemente lejos
del equilibro, entra en una situación de inestabilidad
en relación con la perturbación.
Este punto se acostumbra a denominar punto
de bifurcación. En él tienen lugar nuevas situaciones que pueden
corresponder a comportamientos alejados del originario. En este contexto, las
ecuaciones deterministas no tienen utilidad para predecir qué camino será el elegido entre los existentes en la bifurcación.
En muchas de estas bifurcaciones se produce una ruptura de simetría. Es el caso en que existe una solución
“izquierda” y una solución “derecha”, pero que la naturaleza sólo elige una de
las dos. Se puede decir, así, que existe simetría en las ecuaciones pero no en
las soluciones.
Como señala Paul Valéry, le sens du mot déterminisme
est du même degré de vague que celui du mot liberté [...]
Le déterminisme rigoreux est profondement
déiste. Car il faudrait un dieu pour
apercevoir cet enchaînement infini complet... De sorte que le dieu retranché de
la création et de l'invention de l'univers est restitué pour la compréhension
de cet univers[2].
Un universo en el
que las formas que
vemos en la naturaleza no guardan semejanza, normalmente, con las figuras
geométricas tradicionales de la matemática, aunque algunas veces sí la tienen.
Recordemos que, en 1610, Galileo Galilei
dijo que la matemática es el lenguaje de
la naturaleza. Pero la verdad es que la geometría de la naturaleza resulta
de difícil representación mediante las formas usuales de Euclides o por el
cálculo diferencial. Su escaso orden
la convierte en “caótica”. Adoptamos así el término acuñado por Norbert Wiener,
cuando quería expresar una forma extrema de desorden.
Benoît Mandelbrot (1924-), en su obra The fractal geometry of Nature[3],
señala que las nubes no son esferas, las montañas no son círculos y la corteza
de un árbol no es lisa. Con esta idea desarrolla una nueva matemática capaz de describir y estudiar la estructura
irregular de los objetos naturales. Acuñó un nombre, fractales[4],
para designar estas nuevas formas geométricas.
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Benoît Mandelbrot
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El fractal de Mandelbrot
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Los fractales, igual que sucede con el caos, se asientan sobre la estructura
de la irregularidad. En las dos,
la imaginación geométrica adquiere importancia fundamental. Ahora bien, si en los
fractales domina la geometría, en el
caos ésta se halla supeditada a la
dinámica. Los fractales proporcionan un
nuevo lenguaje susceptible de describir la forma del caos. La geometría fractal se caracteriza por dos
elecciones: la elección de problemas en el seno del caos de la naturaleza... y la
elección de herramientas en el seno de las matemáticas... Estas dos elecciones
han creado algo nuevo: entre el dominio del caos incontrolado y el orden
excesivo de Euclides, hay a partir de ahora una nueva zona de orden fractal[5].
En la geometría convencional, un punto o un número infinito de puntos son figuras de dimensión cero; una recta o una curva “euclídea” constituyen figuras de dimensión uno; un plano o una superficie de
las habituales son figuras de dimensión dos;
un cubo tiene una dimensión tres... Fue gracias a la propuesta de
Hausdorff, en 1919, que se han podido considerar algunas figuras ideales cuya dimensión no es un entero, sino una fracción o
también un número irracional. La dimensión
fractal mide el grado de irregularidad e interrupción de un objeto fractal.
Ahora bien, también en la
realidad existen objetos específicos cuya dimensión física efectiva posee un valor no convencional. Esto nos
lleva a prestar atención a la relación entre las idealizaciones matemáticas
(figuras) y los datos y formas reales (objetos). Paralelamente, se puede
aceptar que un resultado numérico
depende de la relación entre objeto observado y sujeto observador. “Ce qui
change c'est le regard”. En otras palabras, la dimensión física tiene un componente de subjetividad y depende del
grado de resolución. Un ejemplo presentado por Mandelbrot puede ser
esclarecedor: ...Un ovillo de 10cm de diámetro hecho con hilo de 1mm de sección
tiene varias dimensiones efectivas distintas. Para un grado de resolución de
10m es un punto, y por tanto una figura de dimensión cero; para el grado de resolución de 10cm es una bola tridimensional; para el grado de
resolución de 10mm es un conjunto de hilos, y tiene por consiguiente dimensión uno; para el grado de resolución de 0'1mm,
cada hilo se convierte en una especie de columna y el conjunto vuelve a ser de tres dimensiones; [...] y así
sucesivamente. ¡El valor de la dimensión no para de dar saltos![6]
En nuestro intento por explicar la naturaleza introducimos
escalas de medida distintas según la “dimensión” del objeto estudiado. No
existen grandes problemas para el estudio de aquellos fenómenos que comprenden
un rango reducido de escalas, pero las dificultades aumentan cuando es esencial
un gran rango.
Las formas geométricas tradicionales (triángulo, cuadrado,
círculo, esfera, cilindro) pierden su estructura cuando son ampliadas (un
círculo se convierte en una línea recta monótona cuando es observado a una
escala suficientemente grande; para un diminuto ser humano la Tierra es lisa).
El término fractal describe un tipo de objeto geométrico que sigue
manifestando una estructura detallada en un gran rango de escalas.
En principio, los objetos
naturales, tanto aquellos que nos son familiares (como la Luna, la Tierra,
los mares), como aquellos que nos lo son menos (como una distribución de
errores en una recopilación estadística), son sistemas, dado que se hallan formados por partes diferenciadas en
conexión entre sí. Pues bien, la dimensión
fractal pone en evidencia un aspecto de estas leyes de conexión.
Entre los objetos familiares se acostumbra a citar como
ejemplo un trozo de costa marítima,
de la que se desea medir su longitud
efectiva. Esta longitud es siempre igual o mayor a la distancia en línea
recta entre los dos extremos objeto de la medida. Esta es una posición límite.
En el otro límite se halla la hipótesis de una costa extremadamente sinuosa,
para la cual su longitud podría ser tan grande que se acercara al infinito.
Cuando se quieren comparar las diferentes formas de la costa nos veremos
impulsados a utilizar la noción de dimensión
fractal. Por ello, una línea costera es un buen ejemplo de fractal, pues a
distintas escalas se tiene, dentro de lo razonable, la misma estructura (cuando
una zona costera reflejada en un mapa se amplía con otro mapa más detallado se
observa la misma estructura general). Constituyen un tópico en la “hermandad
fractal” los conocidos versos de Jonathan
Swift (1726)[7]:
So, Naturalists observe, a flea
Hath smaller fleas on him prey,
And these have smaller fleas to bite
'em;
And so proceed “ad infinitum”
En todas las obras sobre la materia se cita como fractal
matemático la curva del copo de nieve de
Helge von Koch (1904). En ella, lo
que en la línea costera serían bahías y cabos, aquí son triángulos equiláteros,
que van haciéndose más pequeños. En ambos casos aparece una importante
característica: su comportamiento de
escala (la misma estructura en todas las escalas).
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Curva de Koch |
Resulta relativamente abordable una medida numérica del grado de rugosidad de un fractal.
Inicialmente se denominó dimensión de
Hausdorff-Besicovitch, en honor a los dos matemáticos que la inventaron.
Hoy se conoce como dimensión fractal.
No es prácticamente posible realizar medidas cuantitativas de todos los detalles de un fractal, pero, en cambio,
sí lo es obtener una medida del grado de
su rugosidad.
Como hemos señalado, en el campo de los fractales, la
dimensión no debe ser obligatoriamente un número entero. Así, la
dimensión fractal de una línea costera tiene, normalmente, un valor entre 1'15
y 1'25, y la curva del copo de nieve de
Koch se acerca a 1'26. Por tanto, se las puede considerar prácticamente
igual de rugosas (la línea costera ocupa más espacio que una curva uniforme y
menos espacio que una superficie, por lo que no puede extrañar que su dimensión
se halle entre 1 y 2). En definitiva, se trata de “establecer el volumen -dimensional de una figura, siendo un número cualquiera, entero o no”.
La diferencia geométrica entre figuras uniformes (círculos, esferas,...) y figuras rugosas (fractales), se corresponde con la diferencia entre
los atractores de la matemática
tradicional y los atractores del
caos. Por ello los fractales pueden ser considerados, alternativamente:
a)
Como
una herramienta descriptiva para el estudio de
procesos y formas irregulares.
b)
Como
una consecuencia matemática de una
dinámica caótica subyacente.
Las posibilidades de utilización
de los fractales son amplias. Los fractales ponen en evidencia una nueva
visión de la naturaleza, que, ahora, es apta para ser modelizada matemáticamente.
Las posibilidades de representar de manera geométrica fenómenos económicos
irregulares abren las puertas de par en par al empleo fractal en el ámbito de
las ciencias sociales. La preocupación por las fluctuaciones en las bolsas ¿no
podría estimular el estudio de esta nueva geometría
de la Naturaleza por parte de economistas y especialistas en gestión?
Nacimiento y desarrollo
de una teoría de la incertidumbre
Resulta impensable no aceptar que los sistemas son muy
sensibles a las variaciones de las condiciones iniciales o de las existentes en
algún instante de su actividad[8].
En otros términos, se concibe así que cuando una perturbación excede de un cierto nivel, las desviaciones futuras
llevan a un proceso no controlable por el propio sistema, produciéndose el
nacimiento de insospechados nuevos fenómenos. Sólo con este convencimiento es
posible vislumbrar cómo hace cuatro mil millones de años pudo aparecer una
célula viva de un vulgar caldo de aminoácidos. La complejidad de estos sistemas
hace inviable su comprensión y explicación únicamente mediante leyes
deterministas, sustentadas y desarrolladas con ecuaciones lineales. Ha hecho
falta, y hará falta todavía, una gran dosis de imaginación para romper con los
lazos que nos atenazan con el pasado, colocando en su lugar ecuaciones
diferenciales “no lineales”, portadoras de un gran arsenal descriptivo de
situaciones inciertas. Compiten, cohabitan o colaboran en esta tarea enfoques,
de ayer o de hoy. Entre ellos destaca la teoría de los conjuntos borrosos, cuyo epicentro se halla en una querella que
data de más de dos mil años. En efecto, Aristóteles
(384-322 a.C.) señalaba: Una simple
afirmación es la primera especie de lo que llamamos proposiciones simples, y
una simple negación es la segunda clase de ellas...; Respecto de las cosas
presentes o pasadas, las proposiciones, sean positivas o negativas, son por
necesidad verdaderas o falsas. Y de las proposiciones que se oponen
contradictoriamente debe ser una verdadera y una falsa[9].
En esta misma línea se situaba el pensamiento de los estoicos, a una de cuyas figuras centrales, Crisipo de Soli (ca. 281-208 a.C.), se le atribuye la formulación
del llamado “principio del tercio excluso” (una proposición o es verdadera o es
falsa). Los epicúreos contestaron
con vigor este principio, señalando que sólo es aceptable si no se da una
tercera posibilidad tertium non datur (tercio excluso). A pesar de su
materialismo, Epicuro creía en la
libertad de la voluntad, sugiriendo, incluso, que los átomos son libres y se mueven, de vez en cuando, con
total espontaneidad. Esta idea tiene evidentes connotaciones con el principio de incertidumbre ya mencionado.
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Jan Lukasiewicz
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Tienen que transcurrir veintidós siglos para que Lukasiewicz[10] (1878-1956), retomando la idea de los
epicúreos, señalara que existen proposiciones que no son ni verdaderas ni
falsas, sino indeterminadas. Esto le
permite enunciar su “principio de valencia”
; (cada proposición tiene un valor de
verdad). Asignó, inicialmente, tres valores de verdad: verdadero (1), falso
(0), indeterminado (0'5), generalizando, luego, a valores, para igual o mayor que 2. Se inicia, así, el camino
para las llamadas lógicas multivalentes.
Con ocasión del Congreso Internacional SIGEF de Buenos Aires[11]
intentamos asentar la posición epicúrea en las nuevas coordenadas surgidas del
hallazgo de Zadeh[12],
enunciando el “principio de la simultaneidad gradual” (toda proposición puede
ser a la vez verdadera y falsa, a condición de asignar un grado a su verdad y
un grado a su falsedad). Antes y después, un buen número de científicos han ido
colocando, piedra tras piedra, los cimientos de lo que puede ser un nuevo
edificio del saber. Desde esta perspectiva del conocimiento, algunos nombres
jalonan este ya fructífero camino: Rosenfield,
en 1971, estudia las relaciones borrosas[13].
De Luca y Termini, en 1972, acuñan el concepto de entropía no probabilística[14].
Kaufmann, en 1973, incorpora el
operador de convolución maxmin en las ecuaciones de relaciones borrosas[15].
Sugeno, en 1977, se introduce en el
ámbito de las mediciones borrosas[16].
Zimmermann, en 1978, profundiza en
el desarrollo de las operaciones con conjuntos borrosos[17].
Numerosos grupos de investigación pertenecientes a universidades de los cinco
continentes están trabajando en las distintas ramas del árbol de la ciencia. A todos ellos nuestro más rendido homenaje.
A ellos y a cuantos han entreabierto puertas para que otros las traspasen. A
aquellos de quienes nunca conoceremos su nombre. A los que no disponen ni de un
mísero rincón en las casi infinitas páginas de la historia.[18]
Referencias
A. De Luca, S. Termini:
A definition of nonprobabilistic entropy in
the setting of fuzzy sets theory. Information
and Control 20 (1972),
301-312.
J. Gil Aluja:
Lances y desventuras del nuevo paradigma
de la teoría de la decisión. Proceedings del III Congreso de la Sociedad
Internacional de Gestión y Economía Fuzzy, Buenos Aires, 10-13 noviembre 1996.
