Recibido: jueves, 20 octubre 2005
Arte Fractal II
José
Martínez Aroza
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad de Granada
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página
web: http://www.ugr.es/local/jmaroza
Procesos iterativos y caos
Hemos hablado de autosemejanza,
pero autosemejanza no significa necesariamente orden y armonía. Puede darse
autosemejanza también en el desorden, en el caos. Hablemos un poco de caos.
Mandelbrot estaba trabajando en
temas relacionados con el Análisis Numérico, una rama de la Matemática
Aplicada (mi especialidad), concretamente con procesos iterativos.
Un proceso iterativo (Figura 24) es muy fácil de explicar.
Consta de una fórmula o función y un número inicial. El proceso consiste en
aplicar la fórmula al número inicial para obtener como resultado otro número,
que a su vez se reintroduce en la fórmula para dar un nuevo resultado, y así
sucesivamente.
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Figura 24.
Ilustración de un proceso iterativo.
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Los matemáticos estudiamos el
comportamiento de estas secuencias de números, y podemos averiguar si estos
números tienden a parecerse entre sí conforme avanzamos en los cálculos, de forma
que podamos hablar de un número especial llamado límite, al cual se van aproximando los resultados parciales, o si,
por el contrario, los resultados sucesivos tienden a diferenciarse cada vez
más, y se hacen enormes. La primera situación se conoce como convergencia, y la segunda como divergencia del proceso iterativo.
En la columna central de la tabla de la Figura 25 vemos un ejemplo muy sencillo de proceso
iterativo, que cualquiera puede hacer con una simple calculadora. La fórmula
consiste en “dividir por la mitad y añadir 1”, y el número inicial es 0. Como
resultado de aplicar repetidamente (iterativamente) la fórmula, se generan
los números que quedan por debajo, en la misma columna. En el caso del
ejemplo mostrado, parece bastante claro que la sucesión generada es
convergente hacia un límite que es el número 2.
Como ejemplo de proceso divergente podemos ver el que
aparece en la columna derecha. La formula es “1 menos el doble del número en
curso”, y los sucesivos términos muestran signos alternos y valores cada vez
mayores, indicando con ello una clara tendencia a separarse entre sí y a
mostrar divergencia.
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Figura 25.
Dos procesos iterativos,
uno convergente y otro divergente.
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De esta manera, parece que los
procesos iterativos pueden clasificarse en convergentes o divergentes.
Pero los matemáticos han descubierto que determinadas
ecuaciones, con las condiciones adecuadas, pueden producir números que no
parecen seguir norma alguna. En la naturaleza hay ejemplos de ello, como pueden
ser los sistemas meteorológicos, en los que una minúscula alteración puede
provocar un cambio radical. Esto se conoce como el efecto mariposa, y es lo que hace tan difícil el pronóstico del
tiempo a medio plazo, sobre todo en condiciones de transición. Si pongo un
lápiz en posición vertical, todos sabemos que se caerá en cuanto lo suelte.
Pero ¿hacia qué lado? Eso depende de mi pulso, pero basta un pequeño temblor de
mi mano o un leve soplo de aire para hacer que el lápiz caiga de otra forma
completamente distinta. Eso es el efecto mariposa. Los investigadores médicos
sospechan que algunas disfunciones cerebrales como la epilepsia no son más que
una transición de la mente entre el comportamiento normal y el caótico, causada
porque determinado parámetro químico ha sobrepasado una cierta medida, un
umbral.
Ecuación logística
En Matemáticas también hay
procesos caóticos. Una de esas ecuaciones, asombrosamente sencilla, es la que
vemos aquí, conocida como ecuación logística: y=4x(1
x). Se
utiliza con frecuencia como modelo del crecimiento de una población cuyo tamaño
está limitado por algún factor, como puede ser la cantidad de alimento o el
territorio disponible.
En este experimento (Figura 26) he aplicado la ecuación logística partiendo del
número inicial 0’20, y los resultados sucesivos están pintados en la gráfica
azul, de izquierda a derecha. Se aprecia de inmediato que estos números no
parecen seguir ninguna regla, y saltan como locos de arriba abajo. Pero lo
más grave del asunto es que, si tomo como punto de partida uno diferente,
pero muy parecido, en nuestro caso el 0’21, entonces la serie, que aquí
aparece en rojo, aunque al principio va muy semejante a la azul, pronto se
separa y sigue su propio camino caótico independiente.
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Figura 26.
La ecuación logística como productora de caos.
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Números complejos
El señor Mandelbrot estaba
estudiando el comportamiento de los procesos iterativos cuando se utilizan con
números complejos.
¿Se acuerdan de los números
complejos? ¿Aquello de la parte real y la parte imaginaria? ¿Verdad que sí?
Había un número llamado “i” con la
extraña propiedad de que su cuadrado, “i” al
cuadrado, es igual a
1.
Cosa portentosa, pues siempre se ha dicho que un número al cuadrado tiene que
dar un resultado positivo. Como es sabido, los números complejos se representan
geométricamente en un plano, en el que el eje de coordenadas horizontal es el eje real y contiene todos los números
reales, y el eje vertical es el llamado eje
imaginario, y contiene la unidad imaginaria y todos sus múltiplos. Todo
número complejo corresponde a un punto del plano cuyas coordenadas son su parte
real y su parte imaginaria.
Los números complejos aparecen por
vez primera en el Renacimiento italiano. Los matemáticos de la época les
atribuyeron propiedades místicas y les dieron adjetivos caprichosos como “real”
e “imaginario”, que perduran hoy.

Figura 27. El plano complejo.
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El valiente que por primera vez
puso sobre el papel una fórmula que incluía la raíz cuadrada de un número
negativo, fue el matemático italiano Jerónimo Cardano alrededor de 1550. Lo
escribió con la reserva de que la cosa no tiene sentido, es ficticia e
imaginaria, pero lo escribió. En aquella época había que tener mucho cuidado
con lo que se decía o escribía. De hecho Cardano fue poco después encarcelado
y torturado. En realidad no fue sólo por eso, sino porque como también era
astrólogo (como todos los matemáticos de entonces) se le ocurrió hacerle el
horóscopo a Jesucristo y, claro, le condenaron por hereje. Pero la vida da
muchas vueltas: a su muerte dejó toda su fortuna a la Iglesia Católica.
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El propio Leibniz, creador junto
con Isaac Newton del moderno Cálculo Infinitesimal, disparataba escribiendo: El
Divino Creador ha encontrado ocasión de manifestar su sublime inteligencia en
esta maravilla del análisis, este portento del mundo ideal, este anfibio entre
el ser y el no-ser que llamamos raíz imaginaria de la unidad negativa.
No fue sino hasta doscientos años
después, en 1777, que Leonard Euler (pronúnciese “Oiler”), matemático suizo,
simbolizó la raíz cuadrada de -1
con la letra “i” (inicial
de “imaginario”). Curiosamente, Euler también bautizó al número e.


Figura 28.
Cuatro fases en la generación
del conjunto de Mandelbrot.
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Ese mismo año, qué extraña
coincidencia, nacía en Alemania Carl Friedrich Gauss, quien fue de hecho el
primero en usar ampliamente los números complejos, en darles una
interpretación geométrica, en expresarlos en su forma binómica (parte real y
parte imaginaria) y formular todas sus leyes. En su tesis doctoral usó los
números complejos para demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra, uno de
los más importantes pilares sobre los que se sustenta toda el álgebra. Gauss
tenía 21 años de edad.
Volviendo a lo nuestro,
Mandelbrot estudiaba la convergencia y la divergencia de procesos iterativos
en el plano complejo, en particular el proceso x2+c, donde c es un determinado número fijo.
Partiendo del cero como número inicial, la serie generada por este método
puede ser convergente o divergente, y eso dependerá del número c.
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Pintando puntos
Mandelbrot encontró que para unos
valores de c, la serie
era convergente, mientras que para otros era divergente. Entonces tuvo la idea
(genial y crucial) de representar todos los posibles valores de c en el plano complejo, dándoles color. Por ejemplo,
si para un valor particular de c la serie
salía convergente, entonces pintaba el punto c de color negro.
En la primera gráfica de la Figura 28 he pintado de color negro
un valor de c para el
cual la serie generada, en negro, es convergente. Sin embargo, para otro valor
de c, que he pintado en azul,
la serie generada es divergente.
Si hacemos esto con la ayuda de un
ordenador para todos los posibles valores de c (Figura 28), entonces iremos recubriendo todo el plano con
puntitos negros y azules, y al final obtendremos una especie de mapa de color
negro y azul.

Figura 29.
El conjunto de Mandelbrot.
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El conjunto de Mandelbrot
Este mapa (Figura 29) se
llama conjunto de Mandelbrot. Fue descubierto por Mandelbrot en 1980.
En la figura que aquí vemos están representados en negro todos los valores
posibles de c que
provocan convergencia de la serie, y en otros colores los valores que causan
divergencia, variando la tonalidad del color según la velocidad de divergencia,
es decir, más azul cuanto más rápido diverge la serie, y pasando por azul
celeste, blanco, amarillo y rojo cuanto más lentamente diverge.
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Lo primero que llama la atención
es su forma irregular. Parece una especie de muñeco de nieve tumbado, con verrugas
y con pelos.
La parte más interesante de esta
figura está en la frontera entre la zona de convergencia y la zona de
divergencia. Parece muy caprichosa, llena de rizos. Puede parecer que si
ampliamos un poco la escala de la imagen, es decir, si la miramos más de cerca,
entonces la veremos más suave. Pero cuando Mandelbrot lo hizo para comprobarlo,
se llevó una gran sorpresa.
Las Figuras 30 a 36 son
instantáneas extraídas de un video de 2 minutos y 14 segundos de duración,
consistente en 1 minuto y 7 segundos de veloz y constante ampliación del
conjunto de Mandelbrot, y otro tanto regresando al punto de partida.
El conjunto de Mandelbrot contiene
multitud de copias de sí mismo (Figuras 30, 32, 34). Recordemos que cada puntito en
negro produce una serie convergente, que el azul significa divergencia rápida,
el rojo divergencia lenta, y así. Es admirable lo complicada que es esa
frontera, y lo realmente extraordinario es la cantidad infinita de formas
bellas (Figuras 33, 35), unas simétricas, otras no tanto,
que surgen al navegar por esa frontera. Se trata de un auténtico fractal,
autosemejante y caótico. Y para nuestros propósitos artísticos, es una fuente
inagotable de bellas formas y colores.
El video nos está llevando hacia
un punto determinado del conjunto de Mandelbrot (en realidad no importa cuál),
y mientras nos aproximamos vamos viendo y dejando atrás curiosas y raras
formas. ¿Pueden ustedes hacerse una idea de la cantidad de cosas que debe haber
en otras regiones vecinas, y que nadie ha visto? Porque nunca podrá visitarse
este conjunto en su totalidad, ya que no se trata de un territorio
convencional. En realidad es como si tuviera tres dimensiones, las dos del
plano normal, y una tercera dimensión a la que se llega haciendo un zoom. Y
esta tercera dimensión no tiene fin. Buscando, buscando, podemos encontrar
árboles, ríos, lagos, montañas, nubes, y, sobre todo, coliflores, muchas
coliflores (Figuras 33, 36).
Es lógico preguntarse de dónde ha
salido tanto rizo y tanta filigrana. ¿Quién los ha puesto ahí? ¿Cómo es posible
que una fórmula tan simple como “equis
al cuadrado más ce” pueda dar lugar a tanto jaleo? Señores, no hay
respuesta para tal pregunta. Lo más que se puede decir es “son cosas de los
números complejos“, que sería la respuesta típica de un político malo (el problema está ahí, no se puede negar, vamos
a nombrar una comisión para estudiarlo, que llegará hasta el fondo del asunto y
sus últimas consecuencias, y depurará todas las responsabilidades). En
cualquier caso, nadie podía sospechar que bajo la aparente simpleza de los
números complejos se escondiera tanto caos y tanta autosemejanza.

Figura 30. Tres réplicas del conjunto de
Mandelbrot.
La
del centro es dos mil veces menor que el conjunto principal, que queda a la
derecha de la imagen.
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Figura
31. Detalle de la réplica que aparece en el centro de la Figura 30. La
ampliación es de 10.000 aumentos.
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Figura 32. Una nueva réplica, que aparece
aquí
con 32 millones de aumentos.
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Figura 33. Huerto de coliflores encontrado
a
un billón de aumentos (10^12).
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Figura 34. Una nueva réplica del conjunto de
Mandelbrot,
muy adornada. Estamos a un
trillón
(10^18) de aumentos de “profundidad”.
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Figura 35. Campo de golf con bosque a
orillas de un
lago.
Estamos a mil cuatrillones (10^27) de aumentos.
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Figura
36. A cien
quintillones (10^32) de aumentos
siguen apareciendo extraños seres,
pero el ordenador empieza a chirriar y a crujir. No resiste la presión
(numérica), y hay que regresar a la
“superficie”.
[volver al
texto]
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Ahora que ya conocemos un poco
mejor el conjunto de Mandelbrot es muy instructivo volver a ver algunas de las
obras de arte mostradas al principio.
En Volcano (Figura 2) se pueden ver detalles que antes no
hubiesen llamado la atención. Hay dos formas negras en la parte inferior que
pertenecen ¡al conjunto de Mandelbrot! Efectivamente, Volcano es x2+c, eso sí, con un fantástico
disfraz de color. El grueso del conjunto queda por debajo del cuadro.
Taupensky (Figura
8) es un maravilloso rizo
de la frontera del conjunto de Mandelbrot. Bilbao (Figura 5) es una vista lejana del conjunto; de
hecho el conjunto completo puede verse abajo a la izquierda. Taupenski y
Bilbao son x2+c. Otras
obras también son conjuntos de Mandelbrot, y otras tienen fórmulas distintas,
pero siempre tan sencillas como la de Mandelbrot. Y todas, sean o no
Mandelbrots, son el plano complejo.
Creación de una imagen fractal
El proceso de creación de una
imagen fractal consta básicamente de dos partes: la elección de la fórmula y la
elección del algoritmo de color. Hay muchas fórmulas posibles, pero la de
Mandelbrot da mucho juego. El algoritmo de color se puede escoger diferente
para las zonas de convergencia y de divergencia. Con estos elementos es ya
suficiente para crear una imagen vistosa.
Para producir algo más elaborado
se puede, además, realizar una transformación del plano complejo para cambiar
el aspecto de las formas que aparecen. Las transformaciones básicas del plano
son las traslaciones, los giros, y los estiramientos, pero hay muchas otras
transformaciones con expresiones matemáticas sencillas, que consiguen efectos
muy espectaculares, como inversiones, remolinos, etc. Y finalmente, para
conseguir un efecto en verdad de artista profesional, se pueden hacer varios
fractales y superponerlos, uno encima de otro, de modo que cada fractal sea una
capa. Así se pueden conseguir sombras, degradados, o texturas de riqueza
inimaginable.
Conclusión
Llegados a este punto del texto,
tengo que interrumpirlo y darle fin. En mi conferencia este es el momento de
hacer una imagen fractal con el público. Como tal cosa es imposible aquí,
terminaré recomendando al lector que instale en su ordenador un programa para
hacer fractales (el Ultra
Fractal está especialmente orientado a la obtención de imágenes
atractivas), y que experimente y disfrute.
Por último diré que he orientado
esta exposición sobre fractales hacia el aspecto más lúdico posible, el
artístico, pero que hoy en día las ciencias están cambiando profundamente, y
los científicos más prestigiosos, no sólo matemáticos y físicos, sino también
médicos, biólogos e ingenieros han pasado de considerar seriamente la geometría
fractal como un modelo más o menos fiel de la naturaleza, a pronosticar con
todo convencimiento que las ciencias del siglo que acabamos de empezar estarán fuertemente
cimentadas sobre las teorías fractales, como la complejidad y el caos. Nos
hemos estado divirtiendo (eso confío) con lo que mañana puede ser nuestra
concepción natural del mundo, y, por qué no, quién sabe, una asignatura en el
Bachillerato.
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Sobre el autor
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José Martínez Aroza es profesor del Departamento de
Matemática Aplicada de la Universidad de Granada. Su actividad docente e
investigadora comienza en 1979 en el (entonces) Colegio Universitario de Almería.
En 1987 se incorpora a la Universidad de Granada como profesor titular. Desde
su fundación, hace más de quince años, es miembro del Grupo de Investigación
en Física de la Información y Sistemas Complejos. En todo ese tiempo su
trabajo se ha repartido entre la docencia propia de su área, principalmente
el análisis numérico, y la investigación en temas diversos, entre los que se
encuentran los errores numéricos en la computación, las matemáticas del
diseño por ordenador, el análisis y procesamiento digital de imágenes y,
recientemente, la segmentación secuencias simbólicas como el ADN. Como fruto
de esta actividad, ha dirigido varias tesis doctorales y ha publicado algunas
docenas de artículos científicos en revistas de reconocido prestigio
internacional. A su labor profesional se une un alto interés por la
divulgación de la ciencia en general, y de las Matemáticas en particular.
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