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Podemos decir que la robótica ha
experimentado un crecimiento espectacular en las últimas décadas y constituye
una herramienta básica en distintos escenarios de la industria, la medicina y
la exploración espacial, por nombrar algunos campos. Además, debido en parte a
su mitificación por la industria del cine, los robots son una tecnología de
gran popularidad e impacto social. De hecho, el origen de la palabra “robot” se
remonta a la obra teatral de Capek Rossum’s
Universal Robot (R.U.R.), donde robots humanoides trabajaban sin descanso
para liberar a sus creadores humanos de las tareas más duras. Desde entonces,
la idea de los robots como herramienta de posibilidades ilimitadas ha excitado
nuestras mentes y dado lugar a una nueva tecnología de máquinas de gran
especialización.
Los robots pueden clasificarse en
base a distintos criterios, siendo uno de ellos el de su movilidad. Por
ejemplo, los robots fijos son el tipo más común de robot industrial que podemos
encontrar, y consisten normalmente en un brazo mecánico programable con varios
grados de libertad o articulaciones. Estos robots son capaces de tareas muy
complejas que requieren gran precisión, como son el montaje de circuitos y
motores, la soldadura y pintura de coches u otras tareas de la industria
automovilística. En otras aplicaciones, como la manipulación de elementos
radiactivos en plantas nucleares, estos brazos mecánicos requieren la
intervención de una persona que les guía a través de un mando especial (el
sistema llamado de máster-esclavo).
En este caso el brazo mecánico es parcialmente tele-operado y posee una
capacidad de autonomía menor para realizar su tarea.
Por otro lado, los robots móviles
se conciben con la intención de obtener máquinas que sean capaces de operar en
regiones remotas y/o peligrosas. Así, hay toda una variedad de vehículos autónomos
que incluyen coches con distintos tipos de ruedas o submarinos que a su vez
disponen de brazos robóticos para operar en el fondo del mar. El Spirit y el Opportunity son ejemplos de robots autónomos utilizados por la NASA
para la exploración de Marte y que, entre otros logros, han hecho posible la
comprobación de la existencia de agua en el planeta rojo; ver la Figura
1.
El desarrollo tanto de robots
fijos como de robots móviles está en continua evolución para hacer posibles
nuevos tipos de aplicaciones. Así, recientemente se han creado sistemas
tele-operados para su utilización en intervenciones quirúrgicas. Es el caso del
sistema DaVinci Robotic Surgical System, desarrollado en los EE.UU. y
diseñado para las operaciones de próstata. Este robot consta básicamente de un
brazo mecánico dirigido por el cirujano mientras observa por ordenador la zona
operada con un aumento de hasta treinta y cinco veces la imagen real. Los
robots se han puesto en práctica ya en operaciones reales y el método ofrece
múltiples ventajas con respecto a sistemas tradicionales, lo que se traduce por
ejemplo en una recuperación más rápida y con menores complicaciones en los
pacientes. Desafortunadamente, debido al alto coste de este sistema,
desarrollado y producido en el extranjero, en este momento en España sólo hay
un robot DaVinci disponible, que está siendo puesto a prueba en el servicio de
urología de la Fundación Puigvert en Barcelona.
Como ejemplo de la investigación
reciente en vehículos autónomos podemos citar el DARPA Grand Challenge, que se
ha llevado a cabo en los dos últimos años. Este desafío, propuesto por la
Agencia norteamericana de Defensa para Proyectos de Investigación Avanzados
(DARPA por sus siglas en inglés) ofrecía, en su segunda edición, dos millones
de dólares al equipo que fuese capaz de construir un vehículo totalmente
autónomo que pudiese recorrer un camino de 175 millas trazado en el desierto de
Mojave (desde California a Nevada) en 10 horas. Por supuesto, se daban una
serie de restricciones sobre los medios que el sistema podía utilizar. Así por
ejemplo, el vehículo no podía recurrir a sistemas de localización por satélite
(GPS por sus siglas en inglés) para estimar su posición. Los vehículos
disponían únicamente de la información procesada a través de sensores
implementados en el vehículo (cámaras, radares, etc.). El “camino” a seguir es
conocido con sólo dos horas de antelación a la salida y está descrito mediante
una serie de hitos o marcas. Además, éste está repleto de obstáculos naturales
y artificiales que los vehículos tienen que identificar, tales como zanjas, piedras,
balsas de agua, etc. En la primera edición no hubo ganadores (ningún equipo
completó el recorrido), y en 2005 el premio se lo ha llevado el equipo de la
Universidad de Stanford, superando al equipo de la Universidad de Carnegie
Mellon, que quedó en segundo puesto. Como anécdota, hay que mencionar que el
dinero del premio sólo cubre una parte de los gastos necesarios para construir
un sistema autónomo de este tipo. Para
más información ver la página web http://www.darpa.mil/grandchallenge.
Otro tipo de robots móviles al que
se presta mucha atención son los robots biomiméticos o biomorfos. Lo que se
persigue en este caso es reproducir sistemas capaces de imitar la apariencia y
autonomía de los seres vivos. La motivación proviene de distintos intereses que
oscilan desde la búsqueda y el entendimiento de formas más eficientes de
locomoción, y el interés meramente comercial (producción de juguetes o usos
publicitarios), hasta el interés médico por la fabricación de prótesis
(reproducción de partes del cuerpo humano). En la siguiente sección nos
centraremos en los robots que caminan con varias patas, y desvelaremos algunas
cuestiones matemáticas que surgen en la concepción del control de los mismos.
El problema
del control de los movimientos de los robots con patas
La fabricación de un robot que
camina implica desafíos no sólo en cuestiones de hardware e implementación de
algoritmos, sino también en la concepción razonable del método de control que
define el movimiento del sistema. Lo
cierto es que actualmente la tecnología está muy por delante del trabajo
conceptual necesario para el diseño inteligente de los sistemas robóticos, que
en muchos casos se construyen a partir de heurísticas y conceptos matemáticos
sencillos. Es necesario un esfuerzo
interdisciplinar para producir robots eficientes capaces de imitar a los seres
vivos. En este empeño se sitúa una parte de la investigación en robótica
actual, que necesariamente ha de recurrir a técnicas matemáticas más avanzadas
como son la Teoría de Sistemas Dinámicos y la Teoría Matemática del Control,
dando lugar a problemas matemáticamente interesantes.
Desde un punto de vista
matemático, un sistema robótico es equivalente a un conjunto de ecuaciones
diferenciales de segundo orden con una cierta estructura (ecuaciones de Euler-Lagrange) sobre las que podemos afectar ciertos
parámetros. Estos parámetros son los llamados controles del sistema, y mediante su variación podemos influir el
comportamiento de sus trayectorias. Normalmente se quiere que las trayectorias sean
asintóticamente estables y que se aproximen a cierta trayectoria de referencia.
Los modelos matemáticos de los
robots que caminan tienen características especiales que añaden dificultad
extra para el análisis de los mismos. En primer lugar, el número de ecuaciones
diferenciales es muy grande debido a los muchos grados de libertad del sistema,
dados por el gran número de articulaciones del robot, su posición y velocidad
en el espacio. La naturaleza intermitente de los contactos de las patas con el
suelo impone ligaduras o relaciones algebraicas que el robot ha de satisfacer
alternadamente. El sistema mecánico está, pues, sujeto a impactos que de alguna
forma hay que modelizar.
Por otro lado, el control del
robot involucra dos aspectos clave. En primer lugar, deseamos controlar su
posición y velocidad (i.e. la de su centro de masas) en el espacio, pero además
necesitamos garantizar que el robot permanezca en pie y no se caiga. Para
lograr esto, sólo contamos con un control directo sobre las trayectorias de un
subconjunto de articulaciones del robot
(que podemos afectar mediante motores) y que nos ayudan en parte a especificar
la postura del robot. La tarea, pues, no es nada fácil. Por ejemplo, el
movimiento de un robot bípedo requiere posturas en las que al menos una de las
piernas está en el aire (cuando el robot camina) o incluso las dos piernas
están en el aire (cuando el robot corre), lo que puede conducir potencialmente
a inestabilidad. En principio no es obvio cómo el control limitado de las articulaciones
puede ser suficiente para generar velocidad hacia delante y las trayectorias
estables deseadas.
Dos heurísticas que se han
utilizado en robótica para solucionar estos problemas son las siguientes. En
robots con muchas patas, como son los clásicos hexápodos robóticos, se han
definido algoritmos que mueven algunas de las patas dejando las otras fijas en
una posición que evita que el robot se caiga. Así, un robot de seis patas puede
mover tres de ellas dejando las otras tres fijas en trípode para no caerse.
Para robots de cuatro patas, siempre se pueden definir movimientos sucesivos
por los que una pata se mueve a la vez que las otras tres se fijan para dar
estabilidad. Esta es ciertamente una solución que, sin embargo, no se aproxima
a la imagen que tenemos de un caballo cuando trota.
Otra heurística que simplifica
mucho el problema de control de los robots bípedos y que se pone en práctica en
robots populares como el Asimo de
Honda y el SDR-4X de Sony es la
siguiente. Utilizando pies con articulación en el tobillo, es más fácil
controlar la postura global del robot cuando el pie está totalmente plano en el
suelo –lo
que ayuda a estabilizar el robot–
y, por otro lado, el par de fuerzas aplicado en el tobillo ayuda a impulsar a
estos robots hacia delante –lo
que facilita el control de la trayectoria de su posición en el espacio–.
Pero, de nuevo, esto no es exactamente lo que las personas hacemos al caminar.
En primer lugar, no necesitamos apoyar totalmente el pie en el suelo para
lograr un movimiento estable y, además, está
comprobado que la fuerza en el tobillo no es determinante para
impulsarnos hacia delante. En realidad, la estrategia empleada por Asimo tiene dos desventajas: mediante
este tipo de control el robot no puede correr (sólo puede moverse a base de
“pasitos” que no son lo suficientemente rápidos) y la energía consumida para
realizar el movimiento es grande (la “pila” que mueve a Asimo es la “mochila” enorme que podemos observar en la foto de la Figura
2).
Por lo tanto, la simplificación
que se realiza cambiando adecuadamente el diseño del robot Asimo nos conduce a una solución que no es eficiente. Con el
objetivo de mejorar esta aproximación y de entender realmente la mecánica que
explica el caminar de las personas, diversos investigadores se han dedicado al
estudio de mecanismos tipo “compás” (Figura 3),
con un número mínimo de articulaciones y sin pies, que representarían las
piernas de un robot andador plano. De esta manera no se puede recurrir al truco
del tobillo y se puede investigar el papel de los pies al caminar.
Así, mediante la ley clásica de la
conservación del momento angular, se puede ver que los pares de fuerzas
aplicados a las articulaciones no contribuyen realmente a la generación de
velocidad hacia delante del robot, sino que es únicamente la gravedad la fuerza
que contribuye a la misma. Se puede obtener una fórmula como la siguiente:
v = M · g
· x,
donde M es la masa del robot, g es la constante de aceleración de la gravedad,
y x es la diferencia entre la coordenada
horizontal del centro de masas y la del extremo de la pierna adelantada para
caminar. El papel de las articulaciones se reduce al control de la forma o la
postura del robot que cambia el eje de inercia sobre el que la gravedad actúa
para mover el robot. Además, la postura del robot tiene un efecto directo sobre
la energía que se pierde en cada impacto de una pierna con el suelo. El desafío
está en utilizar toda esta información para generar trayectorias periódicas del
movimiento que sean asintóticamente estables. Esta es la filosofía de trabajos
recientes sobre “bípedos pasivos”, es decir, compases que son capaces de
caminar al bajar una rampa sin más energía que la potencial, y de robots más
sofisticados como RABBIT (ver Figura
4), desarrollado en colaboración entre diversos grupos franceses y norteamericanos. En particular, RABBIT se inició bajo el proyecto nacional francés ROBEA del CNRS, y actualmente incluye hasta siete laboratorios distintos de automática y robótica franceses, la Universidad de Michigan y Ohio State University. Para más información, se recomienda visitar la página web http://robot-rabbit.lag.ensieg.inpg.fr. El prototipo de RABBIT de la Figura 4 se encuentra en el Laboratorio de Automática de Grenoble, Francia, http://www.lag.ensieg.inpg.fr/fr/index.php.
En el caso de RABBIT, las trayectorias de las articulaciones se diseñan para
imponer asintóticamente “ligaduras virtuales” que hacen que cierta órbita
periódica de su trayectoria sea asintóticamente estable. La idea es que los
controles garanticen la estabilidad del movimiento a pesar de las posibles
perturbaciones que el robot pueda sufrir (e.g. empujones, un fuerte viento,
cambios en la masa del robot, etc.). El control se realiza mediante feedback y hace posible que el robot
adquiera la postura necesaria para caminar a distintas velocidades.
Matemáticamente, esto se traduce
en lo siguiente. Imponer ciertas ligaduras virtuales es equivalente a imponer
que ciertas ecuaciones algebraicas de los estados del sistema se verifiquen. La
dinámica del sistema que es compatible con que las ligaduras se satisfagan se
llama la dinámica cero, y no es más que
la restricción del sistema dinámico a cierto subconjunto del espacio de
estados. Pues bien, lo que hace el control por feedback es garantizar que las trayectorias converjan a dicho
subconjunto asintóticamente. En todo esto hay un importante detalle: un robot
que camina es equivalente a un sistema mecánico sujeto a impactos. Estos
impactos dan lugar a nuevas condiciones iniciales para el sistema de forma
periódica, y hay que probar la existencia y estabilidad de ciclos límite a
pesar de las re-inicializaciones. Lo interesante es que la descripción del
sistema dinámico de RABBIT se puede
simplificar gracias a la formulación sencilla de este subconjunto de “dinámica
cero” al que queremos converger, lo que hace posible un análisis de estabilidad
completo y el diseño de secuencias aceptables del movimiento.
Para más detalles referimos al
lector a [1] y a los artículos que allí se citan. Y para demostraciones físicas
del robot caminando recomendamos visitar las páginas
Video 5. RABBIT da su primera carrera de seis pasos (24 de septiembre de 2004).
Aunque las demostraciones son
espectaculares, todavía hay mucho “camino por andar” para crear robots capaces
de correr o de trotar como lo hacen los seres vivos. Para ello, es necesaria
una mayor sinergia entre los aspectos teóricos de los sistemas dinámicos que
describen los sistemas mecánicos de los robots y los aspectos prácticos de
implementación. Esta es, ciertamente, una oportunidad que está al alcance de la
mano de los matemáticos y de aquellos interesados en la aplicación de los
conceptos teóricos a una tecnología muy
tangible.
Referencias
[1] C. Chevallereau, G. Abba, Y. Aoustin, F.
Plestan, E.R. Westerveld, C. Canudas-de-Wit, J.W. Grizzle:RABBIT: A Testbed for Advanced Control
Theory.IEEE Control
Systems Magazine, junio 2003.
[2]A. Isidori:Nonlinear
control systems. Springer-Verlag, 1995.
[3]J.J. Craig: Introduction
to robotics. Prentice-Hall, 2003.
[5]H.
Choset, K.M. Lynch, S. Hutchinson, G. Kantor, W. Burgard, L.E. Kavraki, S.
Thrun:Principles of robot motion: theory, algorithms and
implementations. MIT Press, 2005.
Sobre la autora
Sonia Martínez se
doctoró en el programa de Ingeniería Matemática de la Universidad Carlos III
de Madrid (España) en mayo de 2002. Después de pasar un año como Profesora Titular de Escuela Universitaria Interina en
el departamento de Matemática Aplicada IV de la Universitat Politècnica de
Catalunya, obtuvo una beca posdoctoral Fulbright para visitar el Coordinated
Science Laboratory de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, y el
Center for Control, Dynamical Systems and Computation de la Universidad de
California en Santa Barbara. Desde noviembre de 2005 se encuentra incorporada
al Mechanical and Aerospace Engineering Department de la Universidad de
California en San Diego como Assistant Professor. Sus intereses de investigación pertenecen al campo de la Teoría de
Sistemas Dinámicos, Teoría de Control Nolineal, Mecánica Geométrica y
Robótica. En particular, su trabajo reciente se ha centrado en el modelado y
control de redes de sensores robóticas, el desarrollo de algoritmos de
coordinación de grupos de vehículos autónomos y el control geométrico de los
sistemas mecánicos. Por su trabajo sobre el control de sistemas mecánicos
infractuados recibió el Best Student Paper Award en la IEEE Conference on
Decision and Control de 2002.
