Recibido: miércoles, 14 diciembre 2005
Serge Lang, 1927-2005
Teresa Crespo
Vicente
Departament
d'Àlgebra i Geometria
Universitat de
Barcelona
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Serge Lang, I.
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El pasado 12 de septiembre falleció el matemático
Serge Lang en Berkeley, California, a la edad de 78 años.
Nuestro primer encuentro con Lang fue para muchos su
libro Álgebra, obra de referencia traducida a varios idiomas,
actualmente en su tercera edición [1], corregida, completada y actualizada, con
referencias a la literatura matemática actual y a problemas no resueltos que
conectan a los estudiantes con la investigación, entre éstos, la conjetura abc,
especialmente querida por Lang. También puede leerse en castellano su obra El
placer estético de las matemáticas [2], traducción de Serge Lang
fait des maths en public, que recoge tres conferencias sobre números
primos, ecuaciones diofánticas y grandes problemas de geometría y espacio, impartidas
por Lang en el Palais de la Découverte, Museo de la Ciencia parisino, en los
años 1981, 1982 y 1983, a un público no matemático.
Su vida
Lang nació en París, donde vivió y realizó sus
primeros estudios, hasta que se trasladó a los trece años a Estados Unidos con
su familia. Completó su enseñanza secundaria en California y se graduó como
Licenciado en Físicas en la Caltech en 1946. Después de servir en el ejército estadounidense
durante año y medio, fue a la Universidad de Princeton. Allí estuvo un año en
el Departamento de Filosofía y posteriormente se cambió al de Matemáticas,
obteniendo el grado de Doctor en 1951, bajo la dirección de Emil Artin, con el
trabajo On quasi algebraic closure [3].
De 1951 a 1953, además de su labor docente en la
Universidad de Princeton, fue visitante en el Institute for Advanced Study.
Ocupó plazas de Profesor en las Universidades de Chicago, de 1953 a 1955, y de
Columbia de 1955 a 1970. En el año 1958 realizó una estancia en París como
becario Fullbright. En el momento de su fallecimiento era Profesor Emérito en
la Universidad de Yale, donde ocupaba
una cátedra desde el año 1972.
En 1960, Lang obtuvo el Premio Frank Nelson Cole en álgebra
por su artículo Unramified class field
theory over function fields in several variables [4]. Este prestigioso
premio fue fundado por la American Mathematical Society (AMS), en honor del
Profesor Frank Nelson Cole, con motivo de su cese como Secretario de dicha institución y
como Editor Jefe del Bulletin of the AMS después de ocupar ambos cargos durante
más de veinte años, y es otorgado cada lustro, alternando con el Premio del
mismo nombre en teoría de números. En
1967 Lang obtuvo el Premio Carrière de la Academia de Ciencias Francesa y en enero
de 1999, el Premio Leroy P. Steele de exposición matemática por sus numerosos
libros de matemáticas. Entre éstos, el Comité de Selección destaca las obras Algebra, Algebraic number theory e Introduction
to Arakelov theory.
Lang era miembro de la Academia Nacional de Ciencias
de Estados Unidos. Además de las matemáticas, amaba la música. En distintos
periodos de su vida tocó el piano y el laúd.
Las áreas de matemáticas en las que Lang estaba
interesado comprenden álgebra, teoría de números, geometría algebraica y análisis,
que al parecer definía como “teoría de números en el infinito”. Sus
contribuciones a la teoría de cuerpos de clases, la geometría algebraica y la
teoría de variedades de dimensión infinita le valieron reconocimiento
universal.
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Serge Lang, II.
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Además
de su prestigio como matemático, Lang era conocido por su enorme interés en la
enseñanza de las matemáticas, tanto en el nivel universitario como
preuniversitario, así como por la vehemencia con que defendía sus ideas y su
costumbre de no rehuir la polémica cuando defendía una causa que creía justa.
Esta actitud suya no se limitaba a los temas científicos o académicos, sino que
criticaba toda falta de veracidad o rigor en los medios de información.
Otro
de los temas en que se involucró fue el uso o mal uso de las matemáticas en
ciencias sociales y en biología. A raíz de la publicación en Notices of the AMS
de un artículo sobre el uso de un modelo matemático para el estudio del
virus de la inmunodeficiencia humana (VIH) como causante del síndrome de
inmunodeficiencia adquirida (SIDA) [ver http://www.ams.org/notices/199602/kirschner.pdf], Lang elabora
una extensa documentación en la que detalla sus fuertes objeciones contra el
abuso de modelos matemáticos en conexión con el VIH y discute la relación entre SIDA y
VIH. La no aceptación para su publicación en el Forum de Notices de un artículo de Lang explicando su opinión sobre
este tema hace que éste renuncie como miembro de la AMS, cómo explica él mismo
al aceptar el Premio Steele [ver http://www.ams.org/notices/199904/comm-steele-prz.pdf].
También
era Lang enemigo declarado de la
burocracia y las trabas administrativas, así como de rellenar informes para la
administración si los juzgaba sin sentido. Su arma en las luchas en que se
involucraba eran sus llamados Files
(expedientes), en los que recogía toda la documentación y correspondencia
relativa al caso que le interesaba para enviarla a diversos miembros de
instituciones académicas, así como a periodistas [5]. En una entrevista que le hace Anthony Liversidge,
Lang explica que su educación francesa
hasta los trece años, que le procuró
entrenamiento en escribir y organizar sus ideas, y sus estudios de filosofía le
fueron útiles para establecer un método propio de actuación para usarlo en su
discurso intelectual, académico, político y periodístico.
Es,
asimismo, conocida su insistencia en reconocer justamente la autoría y primacía
de los resultados matemáticos, así como en asignar a las conjeturas el nombre
de la persona adecuada. En este tema es famosa su controversia con André Weil y
su opinión de que es injusto asignar el nombre de éste a la conjetura que
afirma la modularidad de las curvas elípticas definidas sobre el cuerpo de los
racionales (ahora ya un teorema debido a Wiles,
Taylor y Diamond)
[6].
Tuve ocasión de ver a Lang en persona en agosto de
1999 durante una estancia en el MSRI en Berkeley al asistir a su charla The abc conjecture en el Departamento de
Matemáticas. Recuerdo su entusiasmo y energía, así como sus críticos comentarios
sobre la terminología de las autoridades universitarias y gubernamentales en
Estados Unidos, que imponen una determinada jerga como condición previa para
obtener financiación para proyectos educativos o de investigación. Crítica, por
otra parte, perfectamente aplicable a las instancias europeas.
Su obra
La producción matemática de Serge Lang comprende más
de sesenta libros y unos ochenta artículos de investigación, además de artículos
de revisión y contribuciones al Seminario Bourbaki y al Seminario de Teoría de
Números Delange-Pisot-Poitou. Sus artículos y varias de sus monografías, muchas
de ellas previamente publicadas como libros o lecture notes, están recogidas en sus obras completas, publicadas
por Springer en cinco volúmenes, de los cuales el quinto comprende sus trabajos
en colaboración con Jay Jorgenson [7, 8].
Manuales
Los
libros de Lang incluyen varios libros de texto, que cubren distintos niveles de
la enseñanza universitaria e incluso preuniversitaria.
En
Basic mathematics and geometry: A high school course,
escrito con Gene Murrow, Lang incluye lo que, en su opinión, deberían conocer
los estudiantes al llegar a la Universidad. Su libro First course calculus,
reimpreso como Short calculus, comprende las nociones elementales de
análisis correspondientes a un primer curso de Universidad. Las nociones
básicas de álgebra están cubiertas por sus Linear algebra, Undergraduate
algebra y Algebraic structures. En todos estos libros la exposición
es sumamente clara, se evita toda abstracción y se incluyen ejemplos y
ejercicios.
Lang
escribió también varios libros de texto para niveles más avanzados de la
Licenciatura en Matemáticas. Su Álgebra,
ya citada, cambió la forma de enseñar álgebra, manteniendo temas clásicos pero
introduciendo lenguaje y maneras de pensar de teoría de categorías y álgebra homológica,
ejerciendo influencia sobre los libros de álgebra posteriores. Otras de sus
obras cubren cálculo de varias variables, análisis real y complejo, geometría diferencial,
geometría algebraica y variedades de Riemann. Su Algebraic number theory comprende la teoría básica de cuerpos de
números, completaciones y ramificación así como teoría de cuerpos de clase y
teoría analítica. La segunda edición incluye un teorema de Faltings sobre
representaciones l-ádicas
del grupo de Galois absoluto de un cuerpo de números, usado por Faltings en su
prueba de la conjetura de Mordell.
Textos
divulgativos
La
inquietud de Lang respecto a la divulgación de las matemáticas queda reflejada
en El placer estético de
las matemáticas, ya citado, dirigido a un público no matemático. Este libro transcribe
las charlas de Lang tal como se dieron, es decir, en forma de diálogo con el
público. Al leerlo uno desearía haber presenciado estas charlas, ya que es
sorprendente cómo Lang logra conectar con los asistentes y provocar su interés
en temas que introduce de forma muy básica, pero va desarrollando hasta llegar
a enunciar conjeturas vigentes. En la primera charla ¿Qué hace un matemático y por qué? Números primos, Lang deja
patente que hace matemáticas por placer y concluye esta charla diciendo: “Os he
dicho lo que me gusta, os enseño lo que me gusta y espero que os guste. Si es
así, es todo lo que quería”. Jean Brette, responsable entonces de la sección de
Matemáticas del Palais de la Découverte, relata en la introducción que, cuando
invitó a Lang a dar una de las charlas que tenían lugar los sábados no tenía
dudas en cuanto a su talento matemático, pero sí de sus dotes de orador y para
comunicar con el público. Al hacer partícipe al propio Lang de sus temores,
éste contestó que un buen profesor no es sólo un especialista de su disciplina
sino también un actor, sensible a las reacciones del público, y que quería
explicar al público qué son las matemáticas haciendo matemáticas con ellos.
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Portada del libro
Math Talks for Undergraduates.
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Durante muchos años, Lang impartió charlas a
estudiantes sobre temas matemáticos elegidos que pudieran exponerse a un nivel
inteligible para quien hubiera realizado un primer curso de cálculo matemático.
Este tipo de charlas tuvo lugar en Bonn, en la Universidad de Montreal, en la
École Normale Supérieure de París, en la Universidad Humboldt en Berlín, en el
ETH de Zurich, en Berkeley y en la Universidad de Tejas en Austin. Algunas de
estas charlas se recogen en el libro Math talks for undergraduates [9].
Los temas elegidos son: números primos, incluyendo el teorema de los números
primos y la hipótesis de Riemann; la conjetura abc, para polinomios y para
enteros; integración de campos vectoriales; teoremas de aproximación en
análisis, mencionando el núcleo del calor y la ecuación funcional de la función
zeta de Riemann; espacios de Bruhat-Tits; y polinomios armónicos y simétricos.
En la introducción, Lang critica la actitud de los políticos que opinan que
sólo debe financiarse la investigación que tiene aplicación inmediata, hace
notar que históricamente hay descubrimientos que hallan aplicaciones de forma
inmediata y otros que sólo las encuentran varias décadas o incluso siglos más
tarde, e indica que una aplicación inmediata es formar un cuerpo competente de
enseñantes de matemáticas a todos los niveles. Afirma: “Hay una considerable
evidencia: estamos naturalmente programados para que nos gusten las matemáticas
(a todos los niños de cinco años que he conocido les gusta sumar y restar),
hasta que el placer se estropea por una enseñanza incompetente u otros factores
sociales”.
Monografías
En
1962 Lang publica su monografía Diophantine
Geometry [10], donde expone las interacciones entre
problemas diofánticos y geometría algebraica. En varios temas (teorema de
Mordell-Weil, teorema de Thue-Siegel-Roth) trata simultáneamente el caso de
cuerpos de números y el de cuerpos de funciones. Mordell, en un informe que se
hizo famoso, atacó el libro por su estilo y punto de vista, que consideraba
excesivamente formal y abstracto. Poco después, Siegel escribió una carta a
Mordell coincidiendo con el contenido de su informe. El desarrollo posterior de
la geometría diofántica, así como los frutos obtenidos de las interacciones
entre los resultados para cuerpos de números y cuerpos de funciones han dado la
razón a Lang, como él mismo expone en su artículo en Notices sobre el tema [11].
Cabe destacar el desarrollo de la teoría de Arakelov, así como la nueva prueba
de Vojta de la conjetura de Mordell (teorema de Faltings): “Una curva no
singular de género mayor o igual que dos sobre un cuerpo de números tiene un
número finito de puntos con coordenadas en el cuerpo de números”. Lang enunció
una conjetura que generaliza este resultado considerando subvariedades de
variedades abelianas. Esta conjetura es actualmente un teorema debido a Faltings
y Hindry. En 1983 aparece Fundamentals
of Diophantine geometry [12],
una edición ampliada de Diophantine geometry,
que pone de manifiesto los enormes avances realizados en este campo durante los
20 años transcurridos entre las dos ediciones.
En
su carta a Mordell, Lang, como respuesta al informe de éste, indica: “No veo
razón para prohibir que se escriban monografías muy avanzadas, presuponiendo un
conocimiento sustancial en algunos campos y por tanto permitiendo exposiciones
a un nivel que quizá es apreciado únicamente por unos pocos pero que consigue
una cierta coherencia que de otro modo no sería posible”. Añade que de un mismo
tema puede escribirse tanto una monografía avanzada como una asequible a
estudiantes de primer año de licenciatura sin que ninguna de ellas sea superior
a la otra y que, de hecho, él mismo escribió Elliptic curves: Diophantine analysis [13], en el que trata problemas diofánticos haciendo especial
referencia a curvas elípticas.
Varias
de las monografías escritas por Lang son monografías avanzadas e incluyen temas
actuales de investigación y resultados novedosos. Así, gran parte de los temas
abordados en Introduction to modular
forms no podían encontrarse
previamente en libros de texto. Lo mismo ocurre con Introduction to Arakelov theory, que permite entrar en avances
recientes en geometría aritmética. En Cyclotomic
fields se presentan los resultados recientes de la teoría de Iwasawa.
También
era habitual en Lang revisar y actualizar las segundas ediciones de sus libros.
En la segunda edición de Introduction to
algebraic and abelian functions añade, entre otros temas, un estudio detallado de la curva de Fermat.
Artículos de investigación
Los temas tratados por Lang en sus artículos de
investigación abarcan geometría algebraica y diofántica (este último término
fue acuñado por Lang para título de su monografía ya citada),
números
transcendentes, aproximación diofántica, teoría de números analítica, teoría de
representaciones, curvas modulares y ecuaciones diferenciales.
Sus artículos más destacados
comprenden sus tempranos trabajos sobre cómputo
de puntos de variedades sobre cuerpos finitos en colaboración con André Weil [14], sobre teoría de cuerpos de clases en
contexto geométrico, en parte en colaboración con Jean-Pierre Serre [4], [15], de geometría algebraica en
colaboración con John Tate [16],
y sobre grupos algebraicos y extensiones fuertemente normales de cuerpos
diferenciales, con Ellis Kolchin [17].
En los años 1960 y 1970 Lang escribe numerosos artículos sobre teoría de transcendencia
y aproximación diofántica sobre grupos algebraicos, incluyendo un trabajo
conjunto con John Coates [18]. Del año 1971 es su primer trabajo sobre
teoría de números analítica [19]. Un tema de investigación de Lang durante los años
1970 fue el uso de funciones modulares en teoría de números, especialmente para
la generación de unidades en cuerpos de números. Este trabajo, realizado
juntamente con Daniel Kubert, dio lugar a un gran número de artículos y culminó
en su libro Modular
units [20]. Durante los 1980, Lang volvió de nuevo a la teoría de ecuaciones
diofánticas al trabajar con Vojta y ayudó a situar las conjeturas
de éste en un contexto más amplio de geometría diferencial e hiperbólica.
Finalmente, en la última década del
siglo XX, el trabajo matemático de Lang se centró en teoría de números
analítica y sus conexiones con análisis espectral, el núcleo del calor,
geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos, dando lugar a varios
artículos y las monografías [21, 22] en colaboración con Jay Jorgenson.
Además de probar teoremas, Lang gustaba
de hacer conjeturas, a veces basadas en intensas investigaciones y
experimentaciones o en analogías, otras veces aparentemente basadas en su innata
intuición matemática. Un ejemplo de lo primero es la influyente y aún no
probada conjetura de Lang-Trotter, descrita en [23], sobre distribución de los automorfismos de Frobenius en
extensiones galoisianas del cuerpo de los números racionales cuyo grupo de
Galois sea subgrupo abierto del producto de los grupos GL2(Zp) de matrices
invertibles 2x2 sobre el anillo de enteros p-ádicos,
con p recorriendo todos
los primos. Un ejemplo de lo segundo, es su conjetura de la altura, basada en
una prueba incompleta de un caso especial por Demjanenko. Esta conjetura afirma
que la altura canónica de un punto racional de una curva elíptica E
definida sobre los enteros, que no sea punto de torsión, está acotada
inferiormente por el producto de una constante por el logaritmo del valor
absoluto del discriminante de la curva. Por tanto, resulta que esta conjetura de la
altura de Lang tiene fuertes conexiones con la conjetura de Szpiro y la conjetura
abc de Masser-Oesterlé. Muchas de las conjeturas de Lang sobre cuestiones
diofánticas se hallan resumidas en sus dos artículos [24, 25]. En su
artículo [26],
Lang explica cómo la geometría diferencial de una variedad compleja debería
determinar la distribución cualitativa de las soluciones racionales del sistema
de ecuaciones diofánticas que la definen.
Referencias
[1] S. Lang: Algebra (3rd.
ed.) Graduate Texts in Mathematics 211. Springer-Verlag, Berlín, 2004 [Versión castellana: Aguilar,
1971].
[2] S. Lang: El placer estético de las matemáticas. Alianza Editorial, 1992.
[3] S. Lang: On quasi
algebraic closure. Ann. of Math. (2) 55 (1952), 373-390.
[4] S. Lang: Unramified class field theory over function
fields in several variables. Ann. of
Math. (2) 64 (1956), 285-325.
[5] S. Lang: The file. Springer-Verlag, New York,
1981.
[6] S. Lang: Some
history of the Shimura-Taniyama conjecture. Notices Amer. Math. Soc. 42 (1995), no. 11, 1301-1307 [Disponible
en http://www.ams.org/notices/199511/forum.pdf].
[7] S. Lang: Collected
papers, Vols. I-IV. Springer-Verlag, New York, 2000.
[8] S. Lang: Collected
papers, Vol. V (with J. Jorgenson). Springer-Verlag, New York, 2001.
[9] S. Lang: Math talks for undergraduates. Springer-Verlag,
New York, 1999.
[10] S. Lang: Diophantine geometry. John Wiley and
Sons, New York, 1962.
[11] S. Lang: Mordell's review,
Siegel's letter to Mordell, Diophantine geometry, and 20th. century
Mathematics. Notices Amer. Math. Soc.
42, no. 3 (1995), 339-350.
[12] S. Lang: Fundamentals of Diophantine geometry. Springer-Verlag,
New York, 1983.
[13] S. Lang: Elliptic curves: Diophantine analysis.
Springer-Verlag, New York, 1978.
[14] S. Lang: A.Weil: Number of
points of varieties in finite fields. Amer.
J. Math. 76 (1954), 819-827.
[15] S. Lang, J.-P.
Serre : Sur les revêtements non ramifiés des variétés algébriques. Amer. J. Math. 79 (1957), 319-330.
[16] S. Lang,
J. Tate: Principal homogeneous spaces over abelian varieties. Amer. J. Math. 80 (1958), 659-684.
[17] E. Kolchin,
S. Lang: Algebraic groups and the Galois theory of differential fields. Amer. J. Math. 80 (1958), 103-110.
[18] J. Coates,
S. Lang: Diophantine approximation on Abelian varieties with complex
multiplication. Invent. Math. 34 (1976), 129-133.
[19] S. Lang:
On the zeta function of number fields. Invent.
Math. 12 (1971), 337-345.
[20] D.S. Kubert,
S. Lang: Modular units.
Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981.
[21] J. Jorgenson,
S. Lang: Basic analysis of regularized
series and products. Lecture Notes in Mathematics 1564. Springer-Verlag, Berlin, 1993.
[22] J. Jorgenson, S. Lang: Posn(R) and Eisenstein series.
Lecture Notes
in Mathematics 1868. Springer-Verlag,
Berlin, 2005.
[23] S. Lang, H. Trotter: Frobenius distributions in GL2-extensions.
Lecture Notes in Mathematics 504.
Springer-Verlag, Berlin, 1976.
[24] S. Lang: Conjectured Diophantine estimates on
elliptic curves. En: Arithmetic and
geometry, Vol. I. Progr. Math. 35. Birkhäuser,
Boston, MA, 1983, pp. 155-171.
[25] S. Lang: Old and new
conjectured Diophantine inequalities. Bull.
Amer. Math. Soc 23 (1990), no. 1, 37-75.
[26] S. Lang: Hyperbolic and
Diophantine analysis. Bull. Amer. Math.
Soc. 14 (1986), no. 2, 159-205.
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Sobre la autora
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Teresa Crespo
Vicente es
Profesora Titular del Departamento de Álgebra y Geometría de la Universitat
de Barcelona y miembro del Seminari de Teoria de Nombres. Sus temas
principales de investigación son la Teoría de Galois clásica y la Teoría de
Galois diferencial.
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